2014第二讲 一般物体的平衡
一、相关概念
（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件
作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即ΣM=0，或ΣM逆=ΣM顺。 （四）重心：计算重心位置的方法：
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：x?m1gx1?m2gx2???，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
m1g?m2g???二、常用方法
①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；
②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； ③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
三、巩固练习
1.如右图所示，匀质球质量为M、半径为R；匀质棒B质量为m、长度为l。求它的重心。 【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方
B R 法找出重心C。C在AB连线上，且AC·M=BC·m；
第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M的球A?的A 合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C在AB连线上，且BC·（2M+m）=A?C·M。不难看出两种方法的结果都是
mg Mg C ΣF （M+m）g
（2M+m）g
2.将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面
0
倾角为37.求： (1)绳子的张力.
(2)斜面对球的摩擦力和弹力. [答案：（1）10N；（2）10N，30N] 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：mgRsin370?T(R?Rcos372)?0，得T=10N;
（2）取球心为转轴得，f=T=10N;
取C点为转轴：f(R?Rcos370)?NRsin370?0，得N=30N.
l??M?R??2?BC??。
M?mMg A C B A R+l/2 C B A?3.—个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为μ,如果在球上加一个竖直向下的力F，如图所示．问；力F离球心的水平的距离s为多大，才能使球做逆时针转动? [解]当球开始转动时,f1，f2达到最大静摩擦
?F?G?N1?f2 ??N2?f1分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.Fs?f1r?f2r 因f1，f2为最大静摩擦:?将以上方程联立可得:s??f1??N1
?f2??N2(F?G)?(1??)r 2F(1??)
4.如图所示,均匀杆的A端用铰链与墙连接,杆可绕A点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N） 解:木块静止时弹力为10N，可得杆重G=20N
L1向左拉时:N1Lcos?+?N1Lsin?=Gcos?,或N1?sin?=Gcos?-N1cos?
22L1向右拉时:N2Lcos?=?N2Lsin?+Gcos?,或N2?sin?=N2cos?-Gcos?
22两式相比得
910?9?,得N2=11.25N N2N2?10
5.有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为?(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的张力. [答案：
3Gr11?2sin?T?(?)]
L1?cos?cos?解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.
解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.
解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求.
解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcot?.
再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零).
对A点,有力矩平衡TAC?N1AD?3G(r?2rsin?)
?式中AD?r/tan,AC?Lcos?
23Gr11?2sin?有上述四式可行T?(?).
L1?cos?cos?
6.如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？
分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。 设每个圆柱的重力均为G，首先隔离C球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fcy＝0可得
2(31N1?f1)?G ① 22再隔留A球，受力分析如图1一8所示，由∑FAy=0得 31N1?f1?N2?G?0 ② 2231N1?N1?0 ③ 22由∑FAx=0得 f2?由∑EA＝0得
f1R?f2R ④ 由以上四式可得
N12?3?G
22?313N1?G，N2?G
22而f2??0N2，f1??N1 f1?f2??0?B4 7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片AiBi（i=1，2?），其
两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架A6 A5 B3 B 5在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的A1 A4 质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6
的距离，则薄片A6B6中点所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）压力。B A2 B2 6A3 答案：mg/42
解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、?、A5B5的B1 受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、?A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.
以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1. 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有
2?3，??2?3 3Ni?L?Ni?1?N1111L,得Ni?i?1所以N1?N2??N3???()5N6 ①
222222再以A6B6为研究对象，受力情况如图乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg. 选B6点为轴，根据力矩平衡有
N1?L3?mg?L?N6?L 24由①、②联立，解得 N1=mg/42所以，A1B1薄片对A6B6的压力为mg/42.
8.（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L，横截面为h?L的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），4L, 2H S 试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。 [解]设1号右端面到2号右端面的距离为x1，x1?2号右端面到3号右端面到的距离为x2??，以第2号木
L块的左端为转轴力矩平衡:GL?G?2G(L?x2),可以得
2L出x2?,
42GL?G?LL?3G(L?x3) 求得x3? 26L?kG(L?xk) 求得： 2同理:第3号右与第4号右端的距离为x3, 以第3号木块的左端为转轴力矩平衡
第k号的右端面的距离为xk??，则第k号由力矩平衡知： (k?1)GL?G解得xk?L 2kn?1sLn?1L则桥拱长的一半为?x1?x2???xk????
22kK?1k?1k1 由图1可知H?(n?1)h?(n?1)L
4s4n?11所以。将n=10代入可得． ??Hn?1K?1ks?1.258 H
9.有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数??0.3，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角??30，如图所示。
（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h1?2L/5(L为杆长），要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？
（2）若将作用点移到h2?4L/5处时，情况又如何？
解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。 杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得
?