(1)当直线AC的斜率为2时，求直线EG的方程；
(2)直线EG是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由．
[审题要点] (1)由曲线C1得F坐标→求l1方程→由l1⊥l2，求l2方程→由l1交曲线
C1于两点A、C，求中点E坐标→由l2交曲线C1于两点B、D，求中点G坐标→求EG方程．
(2)讨论EG是否过定点，先假设过定点，取两特殊直线求出交点H，再就一般情形进行讨论．
或设l1、l2的方程(用k表示)→将l1、l2方程与抛物线方程联立，用根与系数关系求E、
G的坐标→写出EG的方程→分离参数k说明EG过(或不过)定点
[解析] (1)因为F为抛物线C1：y＝4x的焦点，所以F的坐标为(1,0)．
1
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线AC的斜率为2时，直线AC的方程为x＝y＋1，代入
2抛物线C1的方程，
可得y－2y－4＝0，则y1＋y2＝2，
113
故x1＋x2＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝3，则AC的中点坐标为E(，1)．
222
由AC⊥BD可得直线BD的方程为x＝－2y＋1，同理可得BD的中点坐标为G(9，－4)． 3
由E(，1)，G(9，－4)可得直线EG的方程为2x＋3y－6＝0.
2
(2)直线EG过定点(3,0)．设A(x3，y3)，C(x4，y4)，直线AC的方程为x＝my＋1，代入抛物线C1的方程可得y－4my－4＝0，则y3＋y4＝4m，故x3＋x4＝my3＋1＋my4＋1＝4m＋2，
222
则AC的中点坐标为E(2m＋1,2m)，由AC⊥BD可得BD的中点坐标为G(2＋1，－)，
2
2
2
2
mm22m＋
∴kEG＝
2
m2
＝m2
2m－
m－1
，
m2
(x－2m－1)， m－1
2
∴EG方程为y－2m＝即y＝
m2
m2
m－1
(x－3)．
故直线EG过定点H(3,0)．
[易错警示] 写出直线EG的方程后，不知从何处着手．讨论EG是否过定点，关键看直线EG的方程与什么参数有关联．
(理)已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－23)，(－2,0)，(4，－4)，(2，
(1)求C1、C2的标准方程；
→
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交与不同的两点M、N且满足OM→⊥ON.
若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．
[审题要点] (1)四个点中有2个在C1上，有两个在C2上，由于C2方程较简单，故先验证找出在C2上的点，进而求得C1、C2的方程．
(2)直线l过F可设出直线l的点斜式方程(斜率为k)这时已满足条件①；将l与C1的→→→→
方程联立消元，由根与系数的关系可得x1x2，进而求得y1y2，由OM⊥ON知OM2ON＝0，若能解出k值则存在，否则不存在．
2)． 2
y2
[解析] (1)设抛物线C2：y＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)，
x2
据此验证4个点知(3，－2 3)，(4，－4)在抛物线上，易求C2：y＝4x.
2
x2y22
设C1：2＋2＝(a>b>0)，把点(－2,0)，(2，)代入得：
ab2
4
??a＝1?21??a＋2b＝1
22
2
2
??a＝4
，解得?2
?b＝1?
2
.
∴C1方程为＋y＝1.
4(2)当直线的斜率不存在时，
直线的方程为x＝1，直线交椭圆C1于M(1，33→→
)，N(1，－)，OM2ON≠0不满足题意； 22
x2
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y＝k(x－1)，与
C1的交点坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
x??＋y2＝1
由?4??y＝k?x－1?
2
消去y并整理得(1＋4k)x－8kx＋4(k－1)＝0，
2222
8k4?k－1?于是x1＋x2＝.① 2，x1x2＝2
1＋4k1＋4k
22
y1y2＝k(x1－1)3k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，
4?k－1?8k3k即y1y2＝k(－22＋1)＝－2.②
1＋4k1＋4k1＋4k2
2
2
2
→→→→
由OM⊥ON，即OM2ON＝0，得x1x2＋y1y2＝0(*)．
4?k－1?3kk－4
将①、②代入(*)式，得－22＝2＝0，解得k＝±2，
1＋4k1＋4k1＋4k所以存在直线满足条件，直线方程为：2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.
[易错警示] (1)对于给出四点不加分析盲目计算，加大运算量，导致浪费时间或计算错误；(2)设点斜式方程，不讨论斜率k不存在的情况导致解答不完整．
2
2
2