高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法(含解析) 下载本文

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=,y>0成立,S=+=1,n=5+1=6,n≤2015成立→y=f(6)=cos2π=1,y>0成立,222

S=1+1=2,n=6+1=7,n≤2015成立→y=f(7)=cos

函数,当n=2015时,

7π1

=,?y=f(n)是周期为6的32

11

∵2015=63335+5,∴输出的S=33532++=671,选C.

22

(理)(20152南昌市二模)安排A,B,C,D,E,F六名女工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题.义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,安排方法共有( )

A.30 C.42 [答案] C

[解析] 若B照顾甲,则有C4C4C2种方法;若B不照顾甲,则有C4C3C2种方法,故适合条件的安排方法有C4C4C2+C4C3C2=42种.

二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上) →→2

13.(文)设坐标原点为O,抛物线y=4x与过焦点的直线交于A、B两点,则OA2OB=________.

[答案] -3

[解析] 由于没有限制直线AB的位置,故取其特殊位置——与x轴垂直的情形可得

122

222

122

222

B.40 D.48

A(1,2),B(1,-2),∴OA2OB=-3.

[点评] 其一般解法为:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+1,将x=my+1代入y=4x中消去x得,y-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4,

→→22

∴OA2OB=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m+1)y1y2+m(y1+y2)+1=(m+1)2(-4)+4m+1=-3.

→→

(理)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且|AB|=3,则OA2OB=________.

1[答案] -

2

[解析] 因为直线方程中的三个系数a、b、c均未知,因此直线位置不确定,故可利用条件|AB|=3取特殊位置来解答.

令A(-

3131

,),B(,),则|AB|=3, 2222

2

2

2

→→

33111→→

∴OA2OB=-3+3=-. 22222

14.(文)已知三个互不重合的平面α、β、γ,α∩β=m,n?γ,且直线m、n不重合,由下列三个条件:①m∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n?γ,n∥β.

能推出m∥n的条件是________. [答案] ①或③

[解析] 构建长方体模型,如图,观察选项特点,可优先判断条件②:取平面α为平面ADD′A′,平面β为平面ABCD,则直线m为直线AD.因m∥γ,故可取平面γ为平面

A′B′C′D′,因为n?γ且n∥β,故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与平面A′B为异面直线,故m与n不平行.对于①:α、β取②中平面,取平面γ为平面BCC′B′,可取直线n为直线BC,故可推得m∥n;对于③:α,β取②中平面,取γ为平面AB′C′D,取直线n为直线B′C′故可推得结论:

(理)已知两个实数集A={a1,a2,?,a60}与B={b1,b2,?,b25}.若从A到B的映射

f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≥f(a2)≥?≥f(a60),则这样的映射共有________

个.

[答案] C59

[解析] 由映射的定义及条件知,A中每个元素在B中都有象,B中每个元素在A中都有原象,可以多对一,但不能一对多.又由f(a1)≥f(a2)≥?≥f(a60)知,象只能从大到小顺序排列,我们可以构造这样的数学模型来解决,将a1,a2,?,a60依次排成一列,从所形成的59个空隙中选取24个用插板隔开,然后让集合B中的元素按从大到小的顺序依次从左到右对应到这25个部分,每一部分有n个元素,这n个元素的象都是集合B中的这一个元素,∴共有C59种对应方法.

-x+6,

??x≤2,

15.(20152福建理,14)若函数f(x)=?3+logx,

??x>2

a2424

)(a>0,且a≠1)的值域是

[4,+∞),则实数a的取值范围是________.

[答案] (1,2]

[解析] 当x≤2时,-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+logax(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+loga2,所以3+loga2≥4,

解得1<a≤2,所以实数a的取值范围是(1,2].

16.(文)抛物线y=x在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是________.

1

[答案] [-2,] 2

[解析] 由于y′=2x,所以抛物线在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.

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画出可行域(如图).设x+2y=z,则y=-x+z,可知当直线y22111=-x+z经过点A(,0),B(0,-1)时,z分别取到最大值和最小值,

22211此时最大值zmax=,最小值zmin=-2,故z的取值范围是[-2,].

22

(理)(20142新课标Ⅱ理,16)设点M(x0,1),若在圆O:x+y=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.

[答案] [-1,1]

[解析] 在坐标系中画出圆O和直线l:y=1,其中M(x0,1)在直线上,

设l与y轴交点为A,过M作⊙O的切线MB,切点为B,则∠OMB=∠OMA≥45°,又当

2

2

2

x0=1时,∠OMB=45°,

∴当-1≤x0≤1时,点N存在, ∴-1≤x0≤1.

三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)(文)(20142江西理,16)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈(-

ππ

,). 22

π

(1)当a=2,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;

(2)若f()=0,f(π)=1,求a、θ的值.

2

[审题要点] (1)已知a和θ的值,求f(x)的最值,解题流程

化简f(x)为一角一函形式→求ωx+φ的取值范围→求sin(ωx+φ)的取值范围→求

f(x)的最值.

π

(2)由f()=0,f(π)=1,求a、θ值解题流程

2

ππ

由条件列关于a、θ的方程组→解三角方程,结合θ∈(-,)求a、θ的值.

22

[解析] (1)f(x)=sin(x+=

ππ)+2cos(x+) 42

222

(sinx+cosx)-2sinx=cosx-sinx 222

π

=sin(-x).

4

π3ππ

因为x∈[0,π],从而-x∈[-,].

444故f(x)在[0,π]上的最大值为π??f??=0,

2(2)由???f?π?=1.

2

,最小值为-1. 2

??cosθ?1-2asinθ?=0,得?2

??2asinθ-sinθ-a=1.

ππ

又θ∈(-,)知cosθ≠0,

22

a=-1,??解得?π

θ=-.?6?

[易错警示] 1.f(x)在[0,π]上最值与f(x)在R上最值不同; ππ

2.解a、θ的方程组时,注意θ∈(-,).

22

(理)(20142山东理,16)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),设函数f(x)=a2b,π2π

且y=f(x)的图象过点(,3)和(,-2).

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(1)求m、n的值;

(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=

g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.

[审题要点] (1)由f(x)=a2b可得f(x)解析式,由f(x)图象上两点坐标可求m、n. (2)将f(x)化为“一角一函”形式→求g(x)→由g(x)图象上最高点与(0,3)最小距离为1,求φ→求g(x)的递增区间.

[解析] (1)由题意知f(x)=a2b=msin2x+ncos2x. π2π

因为y=f(x)的图象过点(,3)和(,-2),

123

??

所以?4π4π

-2=msin+ncos,??33

ππ3=msin+ncos,66