高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法(含解析) 下载本文

[解析] 由3sinA+4cosB=6且3cosA+4sinB=1. 1

平方相加,得sin(A+B)=,

21π5

所以sinC=,所以C=或π.

266

注意到三角形内角和为π,且角A、B的相互制约关系1-3cosA=4sinB>0. 1π

∴cosA<,从而A>,

335π

所以C≠π,因此C=. 66

π12

(理)(20142哈三中一模)已知θ∈(0,),由不等式tanθ+≥2,tanθ+22tanθtanθtanθtanθ23tanθtanθtanθ3

=++≥3,tanθ+=+++≥4,归纳得233

22tanθtanθ333tanθ到推广结论:

tanθ+n≥n+1(n∈N),则实数m=________.

tanθ[答案] n

[解析] 观察所给三个不等式的特点可以发现,分母中tanθ的指数是k时,等式右端tanθtanθtanθn为k+1,分子是k,故tanθ+n=++?++n≥n+1,∴m=

tanθnnntanθ

kn2

3

3

2

m*

nnnnn.

1213214321

14.(文)(20142石家庄模拟)已知数列{an}:,,,,,,,,,,?,根

1121231234据它的前10项的规律,则a99+a100的值为________.

[答案]

37 24

*

[解析] 由前10项的构成规律知,分子分母和为n+1(n∈N)的共有n项,从和为2到和为n+1的最后一项,共有1+2+3+?+n=91,n=14时,

78

637924

n?n+1?

2

项,当n=13时,n?n+1?

2

n?n+1?

2

=105,因此a99和a100分别为和为15的第8项和第9项,∴a99+

a100=+=.

(理)已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N)在直线x-y+1=0上.若函数

*

f(n)=

1111*

+++?+(n∈N,且n≥2),则函数f(n)的最小值是________. n+a1n+a2n+a3n+an

[答案]

7 12

[解析] 由题意知,an-an+1+1=0,即an+1-an=1,数列{an}是等差数列,公差d=1,

an=n,当n≥2时,f(n)=

11111+++?+,∵f(n+1)-f(n)=+n+1n+2n+3n+nn+1+1

111111111

++?+-(+++?+)=+-

n+1+2n+1+3n+1+n+1n+1n+2n+3n+n2n+12n+21n+1=12n+1-12n+2>0,∴f(2)

min=f(2)=2+1+2+2=12

. 15.(文)(20142郑州市质检)已知x、y∈(-11

2,2

), m∈R且m≠0, ??

ln2-x?2+x=tanx+2my??ln1-y2tanyx=________.

1+y=1-tan2

y-2m

,则[答案] -1

2

x[解析] ln2-x1-2x2+x=ln,令=t,则

1+x2

2ln

1-t1+t=tan2t+2m, 令f(t)=tan2t-ln1-t1+t,

∴f(t)是定义域上的奇函数, ∵t∈(-12,1

2),∴2t∈(-1,1),

∴f(t)为定义域上的增函数,

f(x2)=tanx-ln2-x2+x=-2m, f(y)=tan2y-ln

1-y1+y=2m, 两式相加得f(x2

)+f(y)=0,

∴f(x)=-f(y)=fx2(-y),∴2

=-y,

∴y1x=-2

. 若

→→→→

(理)(20142哈三中二模)在平行四边形ABCD中,AE=EB,CF=2FB,连接CE、DF相交→→→

于点M,若AM=λAB+μAD,则实数λ与μ的乘积为________.

3

[答案]

8

→→→→

[解析] ∵AE=EB,∴E为AB中点,∵CF=2FB, →→

∴F为BC的靠近点B的三等分点,设AB=b,AD=a,

1→→→→→→→→→→→

设DM=kDF,则MC=MD+DC=-kDF+DC=-k(AB+BF-AD)+DC=-k(b+a-a)+b=

32

(1-k)b+ka.

3

CE=CD+DA+AE=-b-a+b=-a-b,

→→→→∵CE与CM共线,∴存在实数x,使MC=xCE, 21

∴ka+(1-k)b=-xa-xb, 322??3k=-x,∴?1

1-k=-x,??2

→→→

1

212

3∴k=. 4

3113→→→→3→→3→→→

∴AM=AD+DM=AD+DF=AD+(DA+AB+BF)=a+(-a+b+a)=a+b,

44432413→→→

又AM=λAB+μAD=λb+μa,∴μ=,λ=,

243

∴λμ=.

8

[方法点拨] 1.解答向量的线性表示的题目,要抓住向量的起点、终点,按照“首尾相接,首指向尾”的加法运算法则和“同始连终,指向被减”的减法运算法则进行,运用平行四边形法则时,两向量起点必须重合,运用三角形法则时,两向量必须首尾相接,否则就要把向量平移.

2.在两直线相交(或三点共线)问题中,常应用待定系数法,将共线的向量中一个用另一个表示,再通过运算确定待定系数.经常依据平面向量基本定理,某向量用同一组基向量的表示式唯一来求待定系数.

16.(文)定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中:①y=f(x)是奇函数;②y=f(x)是周期函数,周期为2π;③y=f(x)的最小值为0,无最大值;④y=f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为________.

[答案] ③

[解析] f(1.5)=sin(1.5-[1.5])=sin0.5,f(-1.5)=sin(-1.5-[-1.5])=sin0.5,∴①错;f(x+1)=sin(x+1-[x+1])=sin(x+1-[x]-1)=sin(x-[x])=f(x),∴1为函数f(x)的周期,故②错;令g(x)=x-[x],则g(x)在[k,k+1](k∈Z)上单调递增,且是周期函数,

∴g(x)∈[0,1),∴f(x)∈[0,sin1),∴③正确,④错.

(理)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a?b=(a1b1,a2b2),已知向量m1π

=(2,),n=(,0),点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的

23→→

点,且满足OQ=m?OP+n(其中O为坐标原点),则函数y=f(x)的值域是________.

11

[答案] [-,] 22

[解析] 令Q(c,d),由新的运算可得 →

OQ=m?OP+n=(2x,sinx)+(,0)=(2x+,sinx),

12π3π312

??∴?1

d=??2sinx,

c=2x+,π

3

11π

消去x得d=sin(c-),

226

11π

∴y=f(x)=sin(x-),

22611

易知y=f(x)的值域是[-,].

22三、解答题

17.(文)(20142山西重点中学第三次联考)已知△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、

b、c.cosA=,sinB=5cosC.

(1)求tanC的值;

(2)若a=2,求△ABC的面积.

252

[解析] (1)∵cosA=∴sinA=1-cosA=,

33

2

3