3.1.1直线的倾斜角和斜率（1）

一、教学目标

知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．

二、重难点

1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．

2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．

三、教学过程

(一)复习一次函数及其图象

已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上．

∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上．

现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．)

讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．

(二)直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．

(三)直线的斜率

倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即

k?tan?

(四)过两点的直线的斜率公式

在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么： α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)

在图甲中：tan??QP2y2?y1 ?P1Qx2?x1在图乙中：tan???tan?P2P1Q?QP2y2?y1 ?QPx?x12

如果P1P2向下时，用前面的结论课得：

tan??y1?y2y2?y1 ?x1?x2x2?x综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜

率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．

(五)例题

例1 如图，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率． 解：

∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，

?k2?tan1200??3

k1?tan300?33本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和

及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．

斜率以

例2 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．

∴tgα=-1． ∵0°≤α＜180°， ∴α=135°．

因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．

讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．

(六)课后小结

(1)直线的方程的倾斜角的概念． (2)直线的倾斜角和斜率的概念． (3)直线的斜率公式． 三、布置作业

1．在坐标平面上，画出下列方程的直线： (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0

作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．

2．求经过下列每两个点的直线的斜率，若是特殊角则求出倾斜角： (1)C(10，8)，D(4，-4)；

解：(1)k=2 ．

(3)k=1，α=45°．

3．已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．

解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．