第20课 等腰三角形

〖知识点〗

等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质 和判定、轴对称、轴对称图形 〖大纲要求〗

1． 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性

质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；

2． 理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都

相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；

3． 了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。 〖考查重点与常见题型〗

等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线 段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档 解答题，如：

（1）如果，等腰三角形的一个外角是125°，则底角为 度；

（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 〖预习练习〗

1．一个正三角形的边长为a，它的高是（ ）

313

（A）3 （B）2 （C）2 （D）4

2．如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连结这个三角形各边的 中点所成的三角形各边的中点形成的三角形的周长为（ ） （A）26 （B）14 （C）13 （D）9

3．等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则斜边上的高为 4． 若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为

5． 已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于 cm 6． 等腰三角形的底边长为3，周长为11，则一腰长为

7． 等腰三角形的周长为2＋3 ，腰长为1，底角等于 度 8． 已知如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC， BD＝CE， M是AC的中点，求证：△DEM是等腰三角形 考点训练

1．等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（ ） （A）15 （B）15或7 （C）7 （D）11

2．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（ ） （A）30° （B）40° （C）45 ° （D）60°

3．等腰△ABC的顶角∠A＝15°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（ ）

69

（A）100° （B）130° （C）115 ° （D）140° 4．等腰三角形的对称轴有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）1条或3条

5．在△ABC中，AB＝AC，用∠A表示∠B，则∠B＝ 6．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC， 则图中的等腰三角形有 个，它们是 7．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则∠C＝ ，∠BDE＝ ，

AE＝ ；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝ ， △ABD的周长为 ，△ABC的周长为

8． 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和 11厘米两部分，则此三角形的底边长为

9． 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，

求△DCE的周长。

10．等边三角形ABC中，D是AC中点，E为BC延长线一点，且DB＝DE，求证：

△ DCE是等腰三角形。

解题指导

1． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC于F，

EG∥AB交BC于G，求证：BG＝CF。

2.已知如图△ABC是边长为a的等边三角形，△BCD的顶角∠BDC＝120°，DB＝DC以D为顶点作一个60°的角，角的两边DM、DN分别交AB于M，交AC于N， 连结MN，求△ABD的周长。

3.如图在△ABC中，AE平分∠BAC，∠DCB＝∠B－∠ACB， 求证：△DCE是等腰三角形。

4.如图在△ABC中，CD⊥AB于D，且E、F、G分别是AC、BC、AB的中点， 求证：∠DEF＝∠BGF

独立训练

1． 在△ABC中，∠B＝36°，D、E在BC边上，且AD和AE把∠BAC三等分，则图

中等腰三角形的个数（ ）

70

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB， 则∠A等于（ ）

（A）30° （B）36° （C）45 ° （D）54°

3．等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的

角的度数是（ ）

（A）35° （B）20° （C）35 °或 20°（D）无法确定

4．等腰三角形的顶角等于一个底角的3倍，则顶角的度数为 ，底角的度数为 2． 等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于260°，则它的底角度数为 3． 等腰△ABC中，AB=AC，BC=6cm，则△ABC的周长的取值范围是 7．如图，等边△ABC中，O点是∠ABC及∠ACB的角平分线的交点，OM∥AB 交BC于M，ON∥AC交BC于N，求证：M、N是BC的三等分点。

1

8．已知△ABC中，AB=AC，D、M分别为AC、BC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=2 BC，求证：（1）∠DMC=∠DCM；（2）DB=DE

9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，且AB=AC，BE平分∠ABC交AC于F，过C作BE的垂线交BE于E，求证：BF=2CE

10.如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE

第21课 直角三角形

〖知识点〗

直角三角形的性质和判定、逆命题和逆定理、勾股定理及逆定理、角平分线的性质、线段的中垂线及其性质 〖大纲要求〗

了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。

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〖考查重点与常见题型〗

直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性质定理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查中档的解答题，如：

（1） 在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直

角边的长为

（2） 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 （3） 在△ABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC是（ ）

(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形 〖预习练习〗

1．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）

（A） 45° （B）135° （C）45°或135° （D）以上答案都不对 2.如图Rt△ABC，∠C＝90°，CD⊥AB，CE是AB上的中线，

∠ACD：∠BCD＝3：1，若CD＝4cm，则ED是（ ） C （A） 2cm （B）4cm （C）3cm （D）5cm

3．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm， A B 则斜边长是 cm E D

4.三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是 cm

A

5.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120度，AD⊥AC， DC＝5，则BD＝

6.AD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝5cm，BD＝3cm ， B D C 那么BC＝ cm

7.如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线， A △ BCE的周长为14cm, BC＝5cm，求AB的长。

D E B C 考点训练：

1. 如果三角形中有一条边是另一条边是2倍,并且有一个角是30°,那么这个三角形是（ ） (A) 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D) 图形不能确定 2.如图,RtΔABC中,∠BCA=90°, ∠A=30°CD⊥AB于D,DE⊥BC于E, 则AB:BE的值为( )

5

(A) 8 (B) 4 (C) (D) 3.5

23.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )

(A) 顶角的2倍 (B) 顶角的一半 (C) 顶角 (D) 底角的一半 4.在直角三角形中,两锐角的平分线相交成钝角的度数是 . 5.直角三角形中,一条直角边比斜边上的中线长1厘米,如果斜 边长是10厘米, 则两直角边长是 . 6.已知:如图,在ΔABC中,AB>AC, D点在AB上,

AD=AC,AM⊥CD于M,E为BC的中点,若AB=16,AC=10, 则EM的长为

7.有一个角为30°的等腰三角形,若腰长为4,则腰上的高是 ,

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