高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)二次函数与幂函数 下载本文

C.定义域内的减函数

解析:选A 设f(x)=xα,由已知得?

D.定义域内的增函数 3?α

=3, ?3?

解得α=-1,因此f(x)=x-1,易知该函数为奇函数.

2.(2013·临沂模拟)已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象是( )

解析:选D ∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,∴y=ax2+bx+c的开口向上,且与y轴的交点(0,c)在负半轴上.

3.已知函数f(x)=x2+bx+c且f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( ) A.f(-2)

解析:选C ∵f(1+x)=f(-x), ∴(x+1)2+b(x+1)+c=x2-bx+c. ∴x2+(2+b)x+1+b+c=x2-bx+c. ∴2+b=-b,即b=-1.

1∴f(x)=x2-x+c,其图象的对称轴为x=. 2∴f(0)

4.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( ) bA.-

2aC.c

bB.-

a4ac-b2D.

4a

bb

解析:选C ∵f(x1)=f(x2)且f(x)的图象关于x=-对称,∴x1+x2=-.

2aabbb

-?=a·2-b·+c=c. ∴f(x1+x2)=f??a?aa

2

5.已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有( ) A.f(p+1)>0 C.f(p+1)=0

B.f(p+1)<0

D.f(p+1)的符号不能确定

1

解析:选A 函数f(x)=x2+x+c的对称轴为x=-,又因为f(0)>0,f(p)<0,故-1

2<p<0,p+1>0,所以f(p+1)>0.

6.(2013·温州模拟)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为( ) 23

-,+∞? A.??5?23

-,1? C.??5?

解析:选C 令f(x)=x2+ax-2,

由题意,知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点,

B.(1,+∞) 23

-∞,-? D.?5??

?f?1?≤0,23

则? 解得-≤a≤1.

5?f?5?≥0.

二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)

7.(2012·江苏高考)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.

解析:因为f(x)的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即解集为(m,m+6),易得m,m+6是方程

x2+ax+a2=4b,所以

x2+ax+

a2

-c<0的4

a2

-c=0的两根,由一元二次方程根与4

??2m+6=-a,

系数的关系得?解得c=9. a2

m?m+6?=-c,?4?

答案:9

8.若二次函数f(x)=ax2+2x+c的值域是[0,+∞),则a+c的最小值为________. 4ac-4

解析:由已知a>0,=0,

4a∴ac=1,c>0.

∴a+c≥2ac=2.当且仅当a=c=1时,取等号, ∴a+c的最小值为2. 答案:2

9.已知函数y=mx2+?m-3?x+1的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是________.

解析:当m=0时,y=-3x+1,显然成立.

当m≠0时,要使y∈[0,+∞),

??m>0,只要?

2

Δ=?m-3?-4×m×1≥0,??

解得0<m≤1或m≥9.

综上m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞). 答案:[0,1]∪[9,+∞)

三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)

10.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且f(x)>-2x的解集为{x|1

解:设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0), 则f(x)=ax2-4ax+3a-2x,

f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,Δ=(4a+2)2-36a2=0, 16a2+16a+4-36a2=0,20a2-16a-4=0, 5a2-4a-1=0,(5a+1)(a-1)=0, 1

解得a=-,或a=1(舍去).

5

163

因此f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.

555

11.已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).

a

x-?2-4a, 解:∵f(x)=-4??2?a?∴抛物线顶点坐标为??2,-4a?.

a

①当≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a2.

2令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2(舍去); aa

②当0<<1,即0

22f(x)取最大值为-4a.

5

令-4a=-5,得a=∈(0,2);

4

a

③当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,

2∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2,

令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0]. 5

综上所述,a=或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.

4105

∴f(x)=-4x2+5x-或f(x)=-4x2-20x-5.

1612.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,

?f?x?,x>0,?

F(x)=?求F(2)+F(-2)的值;

??-f?x?,x<0,

(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围. b

解:(1)由已知c=1,∵f(-1)=a-b+c=0,且-=-1,

2a∴a=1,b=2.

??x+1?2,x>0,?

∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=?

2

?-?x+1?,x<0.?

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于

11

-1≤x2+bx≤1在x∈(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在x∈(0,1]上恒成立,

xx1

根据单调性可得-x的最小值为0,

x1

--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0. x故b的取值范围为[-2,0]

1.已知函数f(x)=ax2-(3-a)x+1,g(x)=x,若对于任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为正数,则实数a的取值范围是( )

A.[0,3) C.[1,9)

B.[3,9) D.[0,9)