高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)二次函数与幂函数 下载本文

解析:选D 据题意只需转化为当x≤0时,ax2-(3-a)x+1>0恒成立即可.结合f(x)3-a

=ax2-(3-a)x+1的图象,当a=0时验证知符合条件.当a≠0时必有a>0,当x=≥0

2a时,函数在(-∞,0)上单调递减,故要使原不等式恒成立,只需f(0)>0即可,解得0<a≤3;3-a?3-a?当x=<0时,只需f??>0即可,解得3

2.已知函数f(x)=(m2-m-1)x增函数?

解:∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.

当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x-13在(0,+∞)上是减函数; 当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞)上是增函数. ∴m=-1.

3.已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式. 解:如图所示,

3

函数图象的对称轴为x=-,

235

(1)当t+1≤-,即t≤-时,

22h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 5

t≤-?. 即h(t)=t2+5t-1?2??3

(2)当t≤-

253

即-<t≤-时,

22329-?=-. h(t)=f??2?4

3

(3)当t>-时,h(t)=f(t)=t2+3t-5.

2综上可得,

-5m-3

,m为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是

??29?53?h(t)=?-4?-2

?t>-3?.?t+3t-5?2??

2

5t≤-?,t2+5t-1?2??

4.设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x,当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分.

(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;

(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图;

(3)写出函数f(x)的值域.

解:(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得a=-2,

所以y=-2(x-3)2+4, 即x>2时,f(x)=-2x2+12x-14. 又f(x)为偶函数,当x<-2,即-x>2时, f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即f(x)=-2x2-12x-14.

故函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14. (2)函数f(x)的图象如图:

(3)由图象可知,函数f(x)的值域为(-∞,4].