概率六习题 下载本文

A批导线 0.143 0.142 0.143 0.137

B批导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

设测定数据分别来自分布N(试求

),N(

)且两样本相互独立,又,

均为未知,

的置信度为0.95的置信区间

4. 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率,设两者都服从正态分布,并且已知燃烧 的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为

,得燃烧率的样本均值分别为

的置信度为0.99

设两样本独立,求两燃烧率总体均值差

的置信区间。

5. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氧量用相同的方法各作10次测定,其测定值的样本方差依次为

的方差,设总体均为正态的,求方差比

分别为A,B所测定的测定值总体

的置信度为0.95的置信区间。

6. 为研究某中汽车轮胎的磨损特性,随机地选择16只轮胎,每只轮胎行驶到磨坏为止,记录所行驶的路程(以公里计)如下:

41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400 假设这些数据来自正态N(

四、证明题与综合题 1. 试证明均匀分布

中未知参数的极大似然估计量不是无偏的。

),其中

未知,试求的置信度为0.95的单侧置信下限。

2. 设从均值为,方差为的总体中,分别抽取容量为的两独立样本,都是的无偏估计,并确

分别是两样本的均值,试证:对于任意常数a,b,(a+b=1),Y=a+b定常数a,b使

达到最小。

)和N(

中抽取容量为

3. 设分别自总体N(方差分别为

的两独立样本。其样本

试证,对于任意常数a,b,(a+b=1),z=a+b都是的无偏估计,并确定常数

a,b使D(Z)达到最小。

4. 设x1,x2,,xn是来自均匀总体U(0,?)的样本,

?; (2) 证明?的最大似然估计??是相合估计. (1) 试求?的最大似然估计?

5. 设X1,,Xn为来自总体X的一个样本,X的密度函数为

?e?(x??),x??p(x,?)??.

其他?0,(1) 试证,?的最大似然估计为X(1);(2)试证,X(1)不是?的无偏估计,但

1(3)试求XX(1)?是?的无偏估计;

n6. 设x1,x2,2(1)的方差Var?X(1)?。

,xn是来自均匀总体N(?,?2)的样本,

1n1n22x?x(1) 试求?,? 的最大似然估计; (2) 证明x??xi,s????ini?1n?1i?1分别为?,?2的UMVUE.

7. 设X1,X2,,Xn1是来自总体X~Exp?1/??的一个样本,试证X和nX(1)都是?的无偏估计,并比较其有效性。

8. 设X1,X2,,Xn1是来自正态总体N(?,?2)的样本,证明,

分别为?,?的最小方差无偏估计(UMVUE)。

221n1n2X??Xi,S?X?X??i?ni?1n?1i?19. 设X~N(0,?),X1,2

2

2,Xn为其一组样本,

2

2

?; (2) 证明??是?的无偏、相合估计; (1)求?的最大似然估计??是?的有效估计。 (3)证明?10. 设总体为指数分布Exp(1/?),x1,x2,2

2

,xn是样本,

1n(1) 求该总体分布的费希尔信息量I(?); (2)证明x??xi是?的最小方差无偏

ni?1估计。

11. 设K台仪器,已知用第i台仪器测量时,测定值总体的标准差为

用这些仪器独立地对某一物理量各观察一次,分别得到

。设仪器都没有系统误差,即

取何值,方能使用

估计时,是无偏的,并且D()最小。

,问

12. 设X1,X2,,Xn1是来自总体X~p(x,?)?e?(x??),x??的样本,

?,它是否是相合估计?是否是无偏估计; (1)求?的最大似然估计?1?,它是否是相合估计?是否是无偏估计; (2)求?的矩估计?2??X?c的估计,求使得??的均方误差达到最小的c, (3) 考虑?的形如? c(1)c?和??的均方误差进行比较。 并将之与?1213. 设X1,X2,21,Xn1是来自正态总体N(?,?2)的样本,对考虑如下三个估计

2221n1n1n22??????Xi?X?,?3?n?1??Xi?X? ??Xi?X?,?2?n?n?1i?1i?1i?1(1) 哪一个是的无偏估计? (2) 哪一个均方误差最小? 14. 设X1,X2,,Xn1为取自正态总体N(?1,1)的容量为n1的样本,Y1,Y2,,Yn2为取

自正态总体N(?2,4)的容量为n2的样本,且两样本相互独立。

?; (1)求???1??2的矩估计??的方差达到最小。 (2)如果n?n1?n2固定,试问如何分配n1和n2才能使得?15. 设总体X服从指数分布,其概率密度为

从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,

,Xn

(1) 证明:

2nX?~?2(2n);

(2) 求?的置信水平为1??单侧置信下限 (3)某种元件的寿命(以小时计),服从上述指数分布,现从中抽得一容量n=16的样本,测得样本均值为5010(小时),试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。