第9章 组合变形的强度计算

9.1组合变形的概念

9.1.1组合变形的实例、定义

前面各章已经讨论了杆件在轴向拉伸（压缩）、扭转和弯曲等基本变形时的强度和刚度计算。但是，在实际工程中，有些杆件的受力情况比较复杂，其变形不只是单一的基本变形，而是两种或两种以上基本变形的组合。例如，图9-la所示的烟囱，除由自重引起的轴向压缩外，还有因水平方向的风力作用而产生的弯曲变形；图9-lb所示的厂房柱，由于受到偏心压力的作用，使柱子产生压缩和弯曲变形；图9-lc 所示的屋架檩条，荷载不是作用在纵向对称面内，所以，檩条的弯曲不是平面弯曲，将檩条所受的荷载q沿y轴和z轴分解后可见，檩条的变形是由两个互相垂直的平面弯曲组合而成。由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形，称为组合变形。

图9-1

9.1.2组合变形的解题方法

解决组合变形强度问题的基本方法是叠加法。分析问题的基本步骤为：首先将杆件的组合变形分解为基本变形；然后计算杆件在每一种基本变形情况下所发生的内力和危险截面上的应力；最后再将同一点的应力叠加起来，便可得到杆件在组合变形下的应力。实践证明，只要杆件符合小变形条件，且材料在弹性范围内工作，由上述叠加法所计算的结果与实际情况基本上是符合的。

9.2斜弯曲

在上一章中讨论的平面弯曲是指载荷作用在梁的纵向对称平面内，这时梁的轴线在载荷作用的平面内变形成为一条平面曲线。但当外力不作用在梁的纵向对称平面内时，此时梁的挠曲线并不在载荷作用的平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。

现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲的应力和强度计算。

129

9.2.1正应力计算

设梁（图9-2）在自由端受集中力F作用，F通过截面形心并与y轴成?角。 选取如图所示坐标系，以粱的轴线作为x轴，以截面两对称轴分别作为y轴和z轴。

1． 外力分解

将力F沿y轴和z轴方向分解，得

badcAxml图9-2 FmxzByzFyFkybFy?Fcos?

Fz?Fsin?

分力Fy引起梁在xy平面内的平面弯曲；分力Fz引起梁在xz平面内的平面弯曲。 2． 内力分析

在Fy和Fz作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩，由于剪力引起的切应力较小，故通常只计算弯矩引起的正应力。

在距固定端为x的任意横截面m－m上由 Fy引起的弯矩为 Fz引起的弯矩为

Mz?Fy(l?x)?Fcos?(l?x)?Mcos? My?Fz(l?x)?Fsin?(l?x)?Msin?

式中M?F(l?x)表示F在m－m截面上产生的总弯矩。所以，My、Mz也可看作总弯距M在两个形心轴z、y上的分量。

3． 应力分析

运用平面弯曲时的正应力计算公式，可求得横截面m－m上任意点k的应力 Mz引起的应力为

?'??MzyMcos??y?? IzIzMy引起的应力为

?\??MyzIy??Msin??z

Iy式中，负号是表示k点的应力均为压应力。根据叠加原理，k点的弯曲正应力为

MzyMyzcos?sin????'??\?????M(y?z)

IzIyIzIyh（9-1）

Fz这就是斜弯曲时梁内任意一点k处正应力计算公式。式中Iz、Iy分别为梁的横截面对z、y轴的惯性矩。至于应力的正负号，可以直接观察梁的变形，看弯矩Mz和My分别引起所求点的正应力是拉应力还是压应力来决定。拉应力为正号，压应力为负号，如上述图中由Mz、

130

My引起的k点处的应力均为压应力，故?'和?\均为负号。 9.2.2最大正应力和强度条件

在进行强度计算时，应先判断危险面，再计算危险截面上的最大正应力。如图9-2所示的悬臂梁，其固定端截面上的弯矩最大，是危险截面。由应力分布规律可知角点b和c是危险点，其中b点处有最大拉应力，c点处有最大压应力，且|?maxl|?|?maxy|。故最大正应力为

MzmaxymaxMymaxzmaxMzmaxMymax |?max|????IzIyWzWy（9-2）

IyIz式中：Wz?，Wy?。

ymaxzmax若材料的抗拉与抗压强度相等，则强度条件为

|?max|?或写为

MzmaxMymax≤[?] ?WzWy（9-3a）

|?max|?Mmax(MWcos?sin??)?max(cos??zsin?)≤[?] WzWyWzWy（9-3b）

运用上述强度条件，同样可对斜弯曲梁进行强度校核、选择截面和确定许可荷载三类问题的计算。

例9-1 图9-3a所示矩形截面悬臂梁长l，力F作用于截面形心处，方向如图。截面尺寸h、b为已知，求梁上的最大拉应力和最大压应力以及所在的位置。 解 （1）分解外力

cAlzadBy(a)bFxzkybcy(b)dcy(c)dFyFabzab图9-3 Fy?Fcos?，Fz?Fsin?

（2）计算内力 在固定端处

Fy引起 Mzmax?Fyl?Flcos?，上部受拉，下部受压（如图9-3b）所示； Fz引起 Mymax?Fzl?Flsin?，后部受拉，前部受压（如图9-3c）所示。

（3）计算应力 显然，在固定端的b点，有最大拉应力，c点有最大压应力，它们大小相等，为

?max?|?lmax|?|?ymax|?

MzmaxMymax6Flcos?6Flsin?6Flcos?sin?????(?) 22WzWybhhbbhbh131

hFzz9.3 偏心压缩(拉伸)

作用在杆件上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，杆件就受到偏心压缩（或 拉伸）。如图9-4所示的柱子受到上部结构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，就使柱子产生偏心压缩的变形。荷载P称为偏心力。e称为偏心距。

9.3.1 单向偏心压缩（拉伸）时的应力和强度条件

图9-4a所示的柱子，当偏心力P通过截面某一根对称轴时，称为单向偏心压缩。 1. 荷载简化和内力计算

首先将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过形心的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶（图9-4b）。可见，偏心压缩实际上是轴向压缩和平面弯曲的组合变形。

(a)zPy(b)?N?MzmnmN(c)nMzmnmKePPm=PePPeNzynmMzKymynzn运用截面法可求得任意横截面m-n上的内力。显然，在这种承受偏心压缩的杆件中，各个

横截面的内力是相同的。由图9-4c 可知，横截面m-n上的内力为轴力N=P和弯矩Mz=Pe。

图9-4 图9-5 2. 应力计算和强度条件

偏心受压杆截面上任意一点K处的应力，是轴向压缩的正应力?N和平面弯曲的正应力?Mz 的叠加（图9-5）。由轴力N引起的K点的正应力为

?N??由弯矩Mz 引起的K点的正应力为

PAz

（a）

?Mz?K点的总应力为

Mzy Iz（b）

???PMZy? AIZ（9-4）

应用式（9-4）计算正应力时，P、Mz、y都可用绝对值代入，式中弯曲正应力的正负号可由观察变形情况来判定。当K点处于弯曲变形的受压区时取负号；处于受拉区时取正号。

132

显然，最大正应力（最小正应力）发生在截面的边线m-m和n-n上，其值分别为

??max??max??PMZ?AWZPMZ?AWZ

（9-5）

??min??min??由于截面上各点都处于单向拉压状态，所以强度条件为

?max???min??3. 讨论

PMZ??≤[?] AWZPMZ?≤[?] ?AWZ（9-6）

现在来讨论矩形截面偏心受压柱截面上的最大正应力和偏心距e之间的关系。 AbePzyPePzyhe<6Phe=6Phe>6PCh(a)BAB(b)CABABAB (c)(d)(e)图9-6 如图9-6a所示的偏心受压柱，其A?bh，MZ?Pe，WZ?bh26。将各值代入式（9-5）得

?max??PPeP6e?2??(1?) bhbhbhh6边缘A-D上的正应力?max的正负号，由上式中的(1?6eh)符号确定，可能出现三种情况：

1当e?h6时，?○max为压应力 ，截面全部受压，如图9-6c所示。

2当e?h6时，?○max为零。截面上应力分布如图10-6d 所示，整个截面受压，而边缘A-D

上的正应力恰好为零。

3当e?h6时，?○max为拉应力。截面部分受拉，部分受压。应力分布如图9-6e所示。

可见，截面上应力分布情况随偏心距e而变化，与偏心力P的大小无关。当偏心距e?h6时，截面上出现受拉区；当偏心距e≤h6时，截面各点全部受压。

例9-2 图9-7a所示矩形截面牛腿柱，柱顶有屋架传来的压力P1＝l00kN，牛腿上承受吊车梁传来的压力P2＝30kN，P2与柱的轴线偏心距e＝0.2m，已知柱截面的宽b=180mm,试求：

133

① 截面高h为多大时才不致使截面上产生拉应力? ② 在所选h尺寸时，柱截面中的最大压应力为多少? 解 （1）将P2向轴线简化（见图9-7b），得 轴向压力 附加力偶矩

P?P1?P2?130kN

m?P2e?30?0.2kN?m?6kN?m

P1eP2P1P2mP1P2m（2）用截面法求横截面上的内力（见图9-7c） 轴力 弯矩

N??P??130kN

Mz?m?6kN?m

PMz?≤0 AWz36zbhyNM（3）要使截面上不产生拉应力，应满足条件：

?max??即

(a)(b)(c)?130?106?10?≤0 2180h180h6取h?280mm

图9-7 得

h≥277mm

（4）最大压应力发生在截面的右边缘上各点处，其值为

?minPMz130?1036?106????(??)MPa?(?2.58?2.55)MPa??5.13MPa

AWz180?280180?28026例9-3 挡土墙的横截面形状和尺寸如图9-8a所示。C点为其形心，土对墙的侧压力每米为P=30kN，作用在离底面h/3处，方向水平向左如图9-8b所示。挡土墙材料的密度

??2.3?103kgm3。试画出基础m-n面上的应力分布图。

解 （1）内力计算

挡土墙是等截面的，通常取1m长度来计算。每lm长度墙的自重为

h=3m1mb =1m1m0.78mCb2 =2mmnmMz(a)N(b)图 9-8 znyn

eCGnPh3m2mm0.0622MPa(c)n0.0392MPaG?

11(b1?b2)h?g?(1?2)?3?2.3?103?9.8N?101.43kN 22134

土侧压力为

P?30kN N?G?101.43kN

用截面法求得m-n面的内力（见图9-8b）为

弯矩

MZ?P?h3?Ge?[30??101.43?(1?0.78)]kN?m?7.69kN?m 33A?b2?1?103?2?106mm2

（2）应力计算及画应力分布图 m-n面的面积 抗弯截面系数

WZ?112?103?b2??103?(2?103)2mm3?667?106mm3 66基础面上m?m边的应力为

NMZ101.43?1037.69?106?m????(??)MPa?(?0.0507?0.0115)MPa??0.0622MPa

AWZ2?106667?106n?n边上的应力为

NMZ101.43?1037.69?106?n????(??)MPa?(?0.0507?0.0115)MPa??0.0392MPa

AWZ2?106667?106画出基础面的正应力分布图，如图9-8c 所示。

9.3.2 双向偏心压缩（拉伸）时的应力和强度条件

当偏心压力P的作用线与柱轴线平行，但不通过截面任一根对称轴时，称为双向偏心压缩，如图9-9a所示。以下讨论双向偏心压缩（拉伸）时应力和强度条件的计算步骤。

1．荷载简化和内力计算

设压力P至z轴的偏心距为ey，至y轴的偏心距为ez（如图9-9a所示）。先将压力P平移到z轴上，产生附加力偶矩mz?Pey，再将力P从z轴上平移到截面的形心，又产生附加力偶矩

my?Pez。偏心力经过两次平移后，得到轴向压力P和两个力偶mz、my( 图9-9b)，可见，

双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。

Pezm y=DPzoBADeyezPzyyCABm z=PeyC(a)图9-9 (b) 135

由截面法可求得任一横截面ABCD上的内力为

N?P，Mz?Pey ，My?Pez 2．应力计算和强度度条件

横截面ABCD上任一点K（坐标y、z）的应力可用叠加法求得。 由轴力N引起K点的压应

力为

?N??由弯矩Mz引起K点的应力为

P AMzy Iz?M??Z由弯矩My引起K点的应力为

?M??yMyzIy

所以，K点的正应力为 即

???N??M??M

zy???PMzyMyz ??AIzIy计算时，上式中P、Mz、My、y、z都可用绝对值代入，式中第二项和第三项前的正负号由观察弯曲变形的情况来判定，如图9-10所示。

由图9-10可见，最小正应力?min 发生在C点，最大正应力?max发生在A点，其值分别为

?max???min??

PMzMy??AWzWyPMzMy??AWzWyMzDz （9-7）

zBADCyBACyBMyADzCyzBAzCyDABzCyDAB----(a)++--(b)-+-+(c)CyD图9-10 危险点A、C都处于单向应力状态，所以强度条件为

136

?max?minPMzMy?≤[?] ????AWzWy （9-8）

PMzMy?≤[?] ????AWzWy例9-4 一瑞固定并有切槽的杆，如图9-11所示。试求最大正应力。

解 由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图9-11b所示。对于该截面,F力是偏心拉力。现将F力向该截面的形心C简化，得到截面上的轴力和弯矩为

FN?F?10kN

Mz?F?0.05?10?0.05kN?m?0.5kN?m

My?F?0.025?10?0.025kN?m?0.25kN?m A点为危险点，该点处的最大拉应力为

5cm?max?FNMzMy ??AWzWyF=10kN10cm10cm(a)图9-11 ACy(b)z10?1030.5?1060.25?106?(??)MPa 22100?5050?100100?5066?14MPa

9.3.3 截面核心

前面曾经指出，当偏心压力P的偏心距e小于某一值时，可使杆横截面上的正应力全部为压应力而不出现拉应力。土建工程中大量使用的砖、石、混凝土材料，其抗拉能力比抗压能力小得多，这类材料制成的杆件在偏心压力作用下，截面中最好不出现拉应力，以避免拉裂。因此，要求偏心压力的作用点至截面形心的距离不可太大。当荷载作用在截面形心周围的一个区域内时，杆件整个横截面上只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称为截面核心。常见的矩形、圆形、工字形截面核心如图9-12所示。 e1e1e1e2zzz e2e2bbe2??6e3e3d2d1e1e1hhhze2e2r22ize1??he2b22iy re?4he 1??

6 e2??b e1??2iyd1 e2?2iyd2 22ize3??h 图9-12 137

小 结

1．组合变形构件的强度计算步骤

1）将外力向轴线分解或简化，构成几种基本变形。

2）计算各种基本变形时的内力，判断危险截面位置。

3）分析各基本变形的内力在危险截面上的应力，判断危险点的位置。 4）用叠加法建立危险点的强度条件。

2．斜弯曲的强度条件 若材料的抗拉压强度相等，则

|?max|?3．偏心压缩的强度条件 单向偏心压缩

MzmaxMymax≤[?] ?WzWy?max???min??PMZ??≤[?] AWZPMZ?≤[?] ?AWZ双向偏心压缩

?max???min??PMzMy?≤[?] ??AWzWyPMzMy?≤[?] ??AWzWy思 考 题

9-1 如图9-13所示各杆的AB、BC、CD各杆段横截面上有哪些内力？各杆段产生什么组合变形？

A、B、C、D各点处正应力的正负号。

B(a)DACP2B(b)P1ACP2A(c)DBCDP1PPPBA(a)B(b)CADCPDCBA(c)图9-13 9-2 图9-14所示各杆的变形是由哪些基本变形组合成的？ 并判定在各基本变形情况下

图9-14 138

9-3 图9-15所示三根短柱受压力P作用。试判断在三种情况下，各短柱中的最大压应力的大小和位置。

aa4a4a4PPPa

习 题

9-1 如图9-16所示为一NO.25a工字钢截面简支梁，跨中受集中力作用。已知l＝4m， F＝20kN，φ=15°，杆材料的许用应力[σ]＝160MPa。试校核梁的正应力强度。

Al/2l/2ByzoNo.25aFFa(a)a(b)a(c)图9-15 图9-16 9-2 图9-17所示为屋面结构中的的木檩条，跨长l?3m，受集度为q?800N/m的均布荷载作用。檩条采用高宽比hb?32的矩形截面，材料的许用应力[σ]＝10MPa，试选择其截面尺寸。

l30°a

bqABzhqy图9-17 9-3 图9-18所示水塔盛满水时连同基础总重为G=200O kN，在离地面H=15m处受水平风力的合力P=6OkN作用。圆形基础的直径d=6m，埋置深度h=3m，若地基土壤的许用承载力 [R]=0.2MPa，试校核地基土壤的强度。

90-4 砖墙和基础如图9-19所示。设在lm长的墙上有偏心力P=4OkN的作用，偏心距e=0.05m。试画出1-1、2-2、3-3截面上正应力分布图。

9-5 截面为20×80mm的钢杆（见图9-20），在做压缩试验时，测得截面m-m边缘的应力为?m=-125Mpa，n-n边缘的应力为?n=25MPa。试求压力P的大小及其偏心距e的值。

139

2

3dhHPPPee1G12403003100022Pmmen80n20图9-18 图9-19 图9-20 3

9-6 图9-21示混凝土重力坝，截面为三角形，坝高H=30m，混凝土的密度为2.4kg/m。在水压力和坝体自重作用下，坝底截面不允许出现拉应力。试确定所需的坝底宽度B，并求坝底产生的最大压应力。

9-7 图9-22所示为柱的基础。已知在其顶面受到由柱子传来的轴力N=98O kN，弯矩 M=110kN·m及水平力Q=6OkN的作用，基础自重及其上土重共计为G=173kN。试画出基础底面的正应力分布图。

1mQNM

GHG2.4mB图9-21 3.6m图9-22 140