《大地测量学基础》习题与思考题

一 绪论

1．试述您对大地测量学的理解？

2．大地测量的定义、作用与基本内容是什么？

3．简述大地测量学的发展概况？大地测量学各发展阶段的主要特点有哪些？

4．简述全球定位系统（GPS）、激光测卫（SLR）、 甚长基线干涉测量（VIBL）、 惯性测量系统（INS）的基本概念？ 二 坐标系统与时间系统

1．简述是开普勒三大行星定律？ 2．什么是岁差与章动？什么是极移？ 3．什么是国际协议原点 CIO?

4．时间的计量包含哪两大元素？作为计量时间的方法应该具备什么条件? 5．恒星时、 世界时、 历书时与协调时是如何定义的？其关系如何？ 6．什么是大地测量基准？

7．什么是天球？天轴、天极、天球赤道、天球赤道面与天球子午面是如何定义的 ？ 8．什么是时圈 、黄道与春分点？什么是天球坐标系的基准点与基准面？ 9．如何理解大地测量坐标参考框架？

10．什么是椭球的定位与定向?椭球的定向一般应该满足那些条件？ 11．什么是参考椭球？什么是总地球椭球？

12．什么是惯性坐标系？什么协议天球坐标系 、瞬时平天球坐标系、 瞬时真天球坐标系？

13．试写出协议天球坐标系与瞬时平天球坐标系之间，瞬时平天球坐标系与瞬时真天球坐标系的转换数学关系式。 14．什么是地固坐标系、地心地固坐标系与参心地固坐标系？

15．什么协议地球坐标系与瞬时地球坐标系？如何表达两者之间的关系？

16．如何建立协议地球坐标系与协议天球坐标系之间的转换关系，写出其详细的数学关系式。 17．简述一点定与多点定位的基本原理。

18．什么是大地原点？大地起算数据是如何描述的？

19．简述1954年北京坐标系、1980年国家大地坐标系、 新北京54坐标系的特点以及它们之间存在相互关系。

20．什么是国际地球自传服务(IERS）、国际地球参考系统(ITRS) 、国际地球参考框架(ITRF)? ITRS的建立包含了那些大地测量技术，请加以简要说明？

21. 站心坐标系如何定义的？试导出站心坐标系与地心坐标系之间的关系？

22．试写出不同平面直角坐标换算、不同空间直角坐标换算的关系式？试写出上述两种坐标转换的误差方程式？ 23．什么是广义大地坐标微分方程（或广义椭球变换微分方程）？该式有何作用？ 三 地球重力场及地球形状的基本理论

1．简述地球大气中平流层、对流层与电离层的概念。 2．什么是开普勒三大行星定律？推求公式n23a?GM.

3．重力是如何定义的？与物理学中重力有何区别？重力的单位什么？ 4．在引力公式F???fmr中，负号代表的意义？ r2r?5．位的定义？它与引力的关系？

6．写出质点引力位，离心力位的表达式？

1

7．写出引力位对任意方向偏导数的表达式？

8．重力位有何性质？这些性质是如何得出的？大地水准面是如何定义的？水准面的不平行性给测量带来什么困难？ 9．为什么要引入正常地球，讨论正常位与正常重力？目前一般实用的正常地球是什么形状？ 10．地球的几何扁率与重力扁率分别是如何定义的。如何将它们联系起来？

11．正常位水准面与重力位水准面可以平行、 相交、 相切吗？正常位水准面、重力位水准面如何？

12．参考椭球和总地球的扁率___，大地水准面在海洋面上与平均海水面____，水准面有无穷多个，任意一个异于大地水准面的水准面与大地水准面___，（重合，相等，平行，不一定，一定不）。

13．正常重力公式?0??e(1??sin2???1sin22?)是用来计算什么地方的正常重力？

14．重力位 离心力位 引力位之间有何关系？ 15．重力位与正常重力位之间有何关系？

16．何谓扰动位？引入扰动位的概念有何意义？产生扰动位及重力异常的原因是什么，你是如何理解的？ 17．确定大地水准面的形状实际上确定什么？ 18．如何进行重力归算？重力归算的目的是什么？

19．椭球表面正常重力公式可表示为 ， 高出椭球面H高度处点的正常重力与椭球表面的正常重力之间的关系为 。

20．为什么水准测量会产生多值性？

21．试绘图表示地面一点的正高、正常高、大地高以及它们之间的关系，并给出关系式及说明各项的意义。 22．垂线偏差(?,?)、大地坐标(L,B)、天文坐标(?,?)三者之间应满足的关系为_______。 23．正常高与正高有何不同？正常高能准确求的吗？为什么？ 24．高程系统有哪些？简述各自的有缺点？ 25．为什么要引入力高？力高有起算面吗？

26．什么是水准测量的理论闭合差？水准测量的观测高差一般要加入那些改正？ 27．什么是高程的基准面？水准原点？我国采用哪几种高程基准？

28．垂线偏差是如何定义的？写出大地经纬度与天文经纬度的关系式？拉普拉测定垂线偏差的方法有那些？ 29．简述测定大地水准面差距的主要方法？ 30．确定地球形状的基本方法有那些？ 31．n阶地球引力位公式为Vn?1rn?1[AnPn(cos?)??(AncosK??BnsinK?)Pn(cos?)]，说明公式中各项的含义。

KKKK?1n四 地球椭球及其数学投影变换的基本理论

1. 旋转椭球是怎样形成的？什么是子午椭球、子午圈、平行圈、赤道？

2．决定椭球的大小与形状有那些元素？?, e, e是如何定义的？如何导出下列关系式：

'e2e'2222e?2???e? b?a1?e a?b1?e e? 2'21?e1?e2'2'23．地面点离开椭球面的高度如何计算？大地高、正常高、大地水准面差距、高程异常之间有和关系？

4．子午平面直角坐标系如何定义？点在这种坐标系中如何表示？如何推导子午平面直角坐标系与大地纬度的关系式？ 5．试推导空间直角坐标与大地坐标之间的关系？

6．什么是法截面和法截线？卯酉面与卯酉线？斜截面和斜截弧？ 7．子午线 平行圈 赤道 卯酉线中哪些是法截线弧？为什么？

8．如何根据公式分析子午线曲率半径和卯酉曲率半径随纬度的变化规律？

9．椭球面上某一点子午线的曲率半径为M，卯酉线的曲率半径为N，则该点的平均曲率半径R?______，M、N、R在______处相等，且大小等于_____。

10．在椭球面上一点必有一方向的法截弧曲率半径正好等于该点两主曲率半径的算术平均值，试推导出该法截弧方位角的表达

2

式。若该点大地纬度B=45°，试求出这个方位角值。（已知公式：RA?N1?e'cos2Bcos2A2精确至0.01″）。 e'?0.006693421，

210．已知A、B、C、D四点，大地坐标分别为A（30°，112°），B（30°，113°），C（0°，113°），D（0°，112°），试画出A、B、C、D四点两两之间的正反法截弧及大地线。并画出这些大地线在相应高斯投影6°带的描写形。

11．根据公式RA?MNNcos2A?Msin2A,如何分析RA随A的变化规律？ 12．子午线弧长正算公式为X?a0B?a2/2sin2B?a4/4sin4B?a6/6sin6B?a8/8sin8B，式中

a0,a2,a4,a6为已知系数，试说明采用迭代法，已知X求B的的具体过程，并写出计算步骤。

13．什么是相对法截线？产生相对法截线的原因是什么？

14．在椭球面上哪两点的相对法截线合而为一？此法截线是不是大地线？为什么？ 15．椭球面上哪些法截线是大地线？为什么？ 16．什么是大地线？如何推导大地线微分方程dB?cosAMdS,dL?sinAsinANcosBdS, dA?NtgBdS ？ 17．大地线是指 ，椭球面上有一条大地线，其常数C?a(a为椭球长半轴)，则该大地线为_______。

18．椭球面上有一条大地线，其常数C=1996.5KM，则该大地线在北纬最高纬度处的平行圈半径_______。

19. 地面方向观测值与距离观测值如何归算到椭球面上？

20．概述将椭球面上的一三角网投影到高斯平面上所需的计算过程？ 21．何谓大地主题解算？什么是大地主题正算？什么是大地主题反算？ 22．大地主题解算有何用途？

23．简要叙述采用勒让德级数进行大地主题解算的基本思想？ 24．说明用白塞尔方法解算大地主题解算的基本思想？

25．什么是勒让德定理？应用勒让德定理解算球面三角形的基本思想是什么？ 26．什么是球面角超？

27．大地主题正算练习（选自 赵文光著 椭球大地测量学研究）： 算例 例1( 80km ) 例2(410 km) 例3( 1140 km) 参考椭球 克拉索夫斯基椭球 克拉索夫斯基椭球 克拉索夫斯基椭球 a 6 378 245.000m 6 378 245.000m 6 378 245.000m 起 e'2 0.006 738 525 40 0.006 738 525 40 0.006 738 525 40 算 B1 40?02'35\.6784 40?02'35\.6784 40?02'35\.6784 数 L'1 130?10'12\.2676 115?1000\.0000 115?10'00\.0000 据 A12 1?49'43\.000 36?12'01\.027 138?31'19\.971 S 80 000.000 m 414 306.538 m 1 143 360.835 m \计 B2 40?45'47\.9027 43?00'55\.8784 32?02'00.0000 算 L2 130?12'01\.1040 118?10'03\.0000 123?10'00\.0000 值 A21 181?50'53\.545 218?11'26\.797 323?14'43\.445

28． 已知参考椭球为克拉索夫斯基椭球， （1）L'1?130?10'12\.2676，B1?40?02'35\.6784，L2?130?1201\.1040,B2?40?45'47\.9027； （2）L1?115?10'00\.0000，B?1?4002'35\.6784，L?\2?11810'03.0000，B?2?4300'55\.8784；

3

(3)

试计算SL1?115?10'00\.0000，B1?40?02'35\.6784，L2?123?10'00\.0000，B2?32?02'00\.0000；

,A1,A2?

答案：（1）S?80 000.000, A12?1?49'43.004\, A21?181?50'53.548\;

?'\?'\ （2）S?414 306.538, A12?361201.027, A21?2181126.798;

（3）S?1143 360.835,A12?138?31'19.971\, A21?323?14'43.445\。

29. 地图投影按投影参照体的轴线方向是如何分类的 30．什么是高斯平面直角坐标？

31．为什么要分带？如何分带？国家统一坐标系是如何规定的？ 32．椭球面元素归算到高斯平面包含哪些内容？ 33．某点在高斯投影六度带的坐标表示为

X=3066258m,Y=19123456.789m。则该点的实际坐标为X=_______，Y=_______。

点所在六度带的中央子午线的经度为_______。

34．某点在高斯投影6°带的坐标表示为

XA?3026255m,

YA?20478561m,则该点在

3°带第39带的实际坐标为

xA?_________，yA?__________。

35．正形投影的特点是什么？如何根据长度比推出正形投影的一般公式（即柯西－黎曼条件）？ 36．高斯投影应满足的三个条件是什么？为什么说高斯投影是正形投影的一种？

37．高斯投影的长度比M与_______有关。当高斯平面坐标Y=0时，长度比M=_______。这是因为_______。 38．什么是高斯投影的正反算？高斯投影的三个基本条件在正反公式推导中起什么作用？ 39．编程进行高斯投影正反算计算练习（参见《大地测量学基础教材》示例）。 40．什么是平面子午线收敛角？它有何用途？ 41．什么是方向改化？它有何作用？

42．什么叫距离改化？在什么情况下需要进行距离改化计算？ 43．为什么要邻带换算？如何进行邻带换算？

44．已知点A（六度带第21带）和点B（三度带第42带）两点的高斯平面坐标值。试回答以下各题的解题方法和思路：（1）求A、B两点间的平面直线距离；（2）求A、B两点的大地坐标；（3）求A、B两点间的大地线长度及其正反大地方位角。

45．已知点C（三度带第40带）和点D（六度带第20带）两点的高斯平面坐标值。试回答以下各题的解题方法和思路：（1）求C、D两点间的平面直线距离；（2）求C、D两点的大地坐标；（3）求C、D两点间的大地线长度及其正反大地方位角。

46．已知：某控制点在6°带内坐标为

x1?1923 011.354，y1?20 701 641.064，编程计算该点21带的坐标（答案：

x1?1926 685.567，y1?21 063 665.915）。

47．何谓横轴卡托投影？横轴卡托投影有何特点？ 48．什么是兰勃脱投影？兰勃脱投影的形变有何特征？

49．工程测量与城市测量中，为什么要提出投影带和投影面的选择问题？有哪些可选择的途径？ 50．工程测量投影带和投影面的选择的原则是什么？ 五 大地测量基本技术与方法

1. 建立国家平面大地控制网的方法有哪些？目前主要采用哪些方法？ 2. 试阐述建立国家平面大地控制网的布设原则？ 3. 简述控制网设计书一般包含哪些主要内容？

4. 什么是控制网的优化设计？控制网的优化设计大体上分为那几类？ 5. 优化设计的方法有哪些？怎样进行控制网优化设计？ 6．何谓控制网的可靠性？什么是内部靠性与外部可靠性？

7．国家高程控制网的布设原则有那些？各等级高程控制网有何作用？

8．如何理解水准测量精度评定公式M???[??/R]/(4?n)，Mw??[WW/F]/N,它有何作用？它与水准测量平差得到单位位权中误差有何区别？

4

9．在什么情况下水准测量需要加重力改正？为什么要加重力改正？

10．精密水准测量的主要误差来源有哪些？在实际作业过程与数据处理中如何加以消除与削弱？ 11．精密水准测量作业的一般规定有哪些？这些规定有何作用？ 12．何谓水准测量的间歇点？规范中对间歇点有何要求？

12．精密水准测量的概算包含哪些内容？为什么要加上相应的改正？ 13．跨河水准测量的方法有哪些？它们的主要特点有哪些？

14．你对徕卡全站仪编码读盘与光栅读盘的测角原理是如何理解的？你对徕TC系列与TPS系列的仪器的特点与功能有哪些了解？

15．徕卡系统TPS1200超站仪有何特点？

16．据你所知目前常用的气泡式精密水准仪、自动安平精密水准仪、数字水准仪的型号有哪些？对其主要特点有哪些了解？ 17．精密水准仪与水准尺与普通水准仪与水准尺有何不同？

18．什么是大气折射率？电磁波测距仪大气改正公式是如何导出的？改正计算需要考虑哪些气象元素？ 19．简述相位式测距仪与脉冲式测距仪测距的基本原理？

20．采用可变频率法与固定频率法如何确定整周相位数N，试简述各自的基本原理？ 21．电磁波测距测距的主要误差来源有哪些？观测距离一般要加入哪些改正计算？ 22．测距的标称精度公式一般表示为ms??(a?b?S),试中各符号代表什么含义？

23．测距的标称精度公式一般采用什么方法来加以检验，简述其基本方法？ 24．什么是绝对重力测量与相对重力测量？

25．测定绝对重力与相对重力的方法有哪些？写出公式并简述其原理？ 26．在进行相对相对重力测量时，为何需要联测一些绝对重力点？ 27．什么是重力基准？请简述目前我国的重力基准的现状？ 28．试简要叙述GPS测量定位的基本原理？ 29．什么是绝对定位？何谓相对定位？

30．GPS网的布网形式有哪些？说明各自有何特点以及适用范围？ 31．如何建立GPS基线向量在地心空间直角坐标系中的平差数学模型？

32．参心空间坐标系中，GPS基线向量与地面观测值的误差方程式是如何建立的？三维网平差、三维网联合平差、三维网约束平差等平差方法你是如何加以区分的？

33．如何建立GPS观测值与地面观测值的二维平差的数学模型？ 六 深空大地测量简介

1．据你所知目前深空探测的方式有哪些？其主要特点是什么？

2．月球测绘的目标与任务是什么？简述目前国内外月球及深空大地测量的现状？ 3．月球地形与地貌测绘的手段与方法有哪些？ 4．深空探测有哪些主要的技术方法？

5．深空探测网布设的基本原则是什么？简述目前深空探测网的基本概况？ 一、解释下列术语（每个2分，共10分）

大地水准面 球面角超 底点纬度 高程异常 水准标尺零点差 二、填空（1-15小题每空1分；16题4分，共36分）

1、在地球自转中，地轴方向相对于空间的变化有______和_____。 2、时间的度量单位有______和______两种形式。

3、重力位是______和_____之和，重力位的公式表达式为_______。 4、椭球的形状和大小一般用_______来表示。

5、在大地控制网优化设计中把_____、______和_____作为三个主要质量控制标准。 6、测距精度表达式

中，

的单位是______，表示的意义是_____；

的单位是______，表示的意义是_____。

5

7、利用测段往返不符值计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____来表示,其意义是______。 8、利用闭合环闭合差计算的用来衡量水准测量外业观测的精度指标用_____来表示,其意义是______。

9、某点在高斯投影3°带的坐标表示为XA=3347256m, YA=37476543m,则该点在6°带第19带的实际坐标为xA=___________________，yA=___________________。

10、精密水准测量中每个测段设置______个测站可消除水准标尺______零点差的影响。 11、点P从B=0°变化到B=90°时,其卯酉圈曲率半径从______变化到_____。

12、某点P的大地纬度B=30°，则该点法线与短轴的交点离开椭球中心的距离为_____。

13、高斯投影中，_____投影后长度不变，而投影后为直线的有_____，其它均为凹向_____的曲线。

14、大地线克莱劳方程决定了大地线在椭球面上的_______；在椭球面上某大地线所能达到的最大纬度为60°，则该大地线穿越赤道时的大地方位角表达式为_____（不用计算出数值）。

15、在换带计算中，3°的_____带中央子午线经度和6°相同，坐标不用化算。

16、按下表给出的大地经度确定其在高斯投影中的带号和相应的中央子午线经度（答案写在试卷纸上，本小题4分，每空0.5分） 点号 1 2 114°00′ -56°10′ 大地点经度 N 六度带 L0 n 三度带 L0 一、名词解释（每个2分，共10分）

球面角超 总椭球体 大地主题反算 子午线收敛角 水准标尺基辅差 二、填空（每空1分，共30分）

1、以___________作为基本参考点，由春分点___________运动确定的时间称为恒星时;以格林尼治子夜起算的___________称为世界时。

2、ITRF 是___________的具体实现，是通过IERS分布于全球的跟综站的_________和_________来维持并提供用户使用的。 3、高斯投影中，_____投影后长度不变，而投影后为直线的有_____，其它均为凹向_____的曲线。 4、重力位是--___________和___________之和，重力位的基本单位是___________。

5、大地线克莱劳方程决定了大地线在椭球面上的_______，某大地线穿越赤道时的大地方位角A= 60°，则能达到的最小平行圈半径为长半轴a的_____倍。 6、正常重力公式

是用来计算______ 正常重力, 其中系数

是称为___________。高出椭

球面H米高度处正常重力与椭球表面正常重力间的关系为____________。

7、在大地控制网优化设计中把__________、__________和__________作为三个主要质量控制标准。 8、地面水平观测值归算至椭球面上需要经过__________、___________、_____________改正。

9、椭球面子午线曲率半径，卯酉线曲率半径_______，平均曲率半径________。

它们的长度通常不满相等，其大小关系为________________。 10、、某点在高斯投影6°带的坐标表示为

3026255m,

20478561m,则该点在3°带第39带的实际坐标为

___________，

_____________，其三度带的中央子午线经度为________。 三、选择题（每小题2分，共8分）

1、地轴方向相对于空间的变化可分为岁差和章动，假设地轴的变化只考虑岁差的的影响，则与其地轴相对应的赤道称为_____________。 A、瞬时赤道 B、平赤道 C、协议赤道

2、地面上任意一点的____________是指该点沿_____________方向至____________的距离。 A、正高、垂线、大地水准面 B、大地高、法线、大地水准面 C、正常高、垂线、参考椭球面

3、在精密水准测量中，为了减小或削弱角误差对观测高差的影响，水准测量外业观测中一般采取下列_________组方法。 A、视距相等、改变观测程序 B、视距相等、往返观测 C、视距相等、不同观测时间

6

4、高斯投影是______________投影，兰勃脱投影是________________投影。 A、正轴圆柱、正轴园锥 B、横轴椭圆柱、正轴圆锥 C、横轴椭圆柱、横轴圆锥 四、简答题（每小题6分，共24分） 1、简述白塞尔大地主题正算的基本思想？ 2、在精密水准测量概算中包括哪些计算工作？

3、为什么要进行换带计算？试简述间接法进行高斯投影换带的计算过程。 4、什么是水准测量理论闭合差？试阐述产生理论闭合差的原因？ 五、论述题（共13分）

试述椭球面三角元素归到高斯平面上包括哪些内容及需要进行哪些计算工作？ 六、计算与证明(第1小题7分，第2小题8分，共15分） 1、

。

2、设高斯平面上有一点，其坐标值为x1=0m，y1=-290km,试绘图说明该点换算至相邻带上时，y2之概值是多少？注：设a =6400km，π取3.14，精确到km。

一、解释下列术语（每个2分，共10分）

１、大地水准面：假定海水面完全处于静止和平衡状态（没有风浪、潮汐及大气压变化的影响），把这个海水面伸延到大陆下面，形成一个封闭曲面，在这个面上都保持与重力方向正交的特性，则这个封闭曲面称为大地水准面。

2、球面角超：球面多边形的内角和与相应平面上的内角和与（n-2）×180°的差值（或答为球面三角形和180°也可）。 3、底点纬度：在y =0时，把x直接作为中央子午线弧长对应的大地纬度B，叫底点纬度。 4、高程异常：似大地水准面与椭球面的高程差。 5、水准标尺零点差：一对水准标尺的零点误差之差。 二、填空（每空1分，共30分）

1、岁差；章动。 2、时刻；时间间隔。 3、引力位；离心力位； 。4、a和α。 5、精度标准；可靠

性标准；费用标准。 6、mm；固定误差；ppm；比例误差系数。 7、M△；每千米水准测量的偶然中误差。8、M w；每千米水准测量的全中误差。 9、3347256m,-23457m。 10、偶数；零点差。 11、a；C=a2/b。

12、16、 点号 2 3

13、中央子午线；中央子午线和赤道；中央子午线。 14、走向；15、单数（奇数）。

大地点经度 N 114°00′ -56°10′ 19或20 51 六度带 L0 111°或117° 303° n 38 101 三度带 L0 114° 303° 三、简答题（1-2小题每题6分；3-4小题每题7分，共26分） 1、建立国家平面大地控制网的方法有哪些？其基本原则是什么？ 答：基本方法：

1）、常规大地测量法 （1）三角测量法 （2）导线测量法 （3）三边测量及边角同测法 2）、天文测量法3）、利用现代定位新技术 （1）GPS测量地控制网应有统一的技术规格和要求

（2）甚长基线干涉测量系统(VLBI) （3）惯性测量系统(INS)

）、大地控制网应有足够的精度

）、大地控制网应有一定的密度 4）、大

基本原则： 1）、大地控制网应分级布设、逐级控制2、在精密水准测量概算中包括哪些计算工作？

7

答：水准测量概算主要计算工作：

（1）水准标尺每米长度误差的改正数计算（2）正常水准面不平行的改正数计算3）水准路线闭合差计算（4） 高差改正数的计算 3、什么是大地主题正反算？简述高斯平均引数正反算的基本思想。 答：已知某些大地元素推求另一些大地元素的计算工作叫大地主题解算 1）大地测量主题正算（解）：

已知：P１(L１，Ｂ１），Ｐ１至P２的大地线长S及其大地方位角Ａ１２，

计算：P２(L２，Ｂ２），和大地线S在P２点的反方位角Ａ２１，这类问题叫做大地主题正算。 2）大地测量主题反算（解）：

已知：P１ (L１，Ｂ１）和P２(L２，Ｂ２），

计算：P１至P２的大地线长S及其正、反方位角A１２和Ａ２１，这类问题叫做大地主题反算。 高斯平均引数正反算基本思想：

（1）把勒让德级数在P１点展开改在大地线长度中点Ms/2处展开，以使级数的公式项数减少，收敛快，精度高；

（2）考虑到求定中点M的Bs/2和As/2复杂性，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替大地线的中点Ms/2 ；

（3）迭代计算。

2、在精密水准测量概算中包括哪些计算工作？ 答：水准测量概算主要计算工作：

（1）水准标尺每米长度误差的改正数计算 （2）正常水准面不平行的改正数计算 （3）水准路线闭合差计算（4） 高差改正数的计算

4、为什么要分带和换带计算？有哪两种换带方法？坐标换带的实质是什么？ 答：1）为什么要分带和换带计算？ 限制变形，要分带，存在邻带坐标换算。

（1）当一个网跨两个投影带，为了在某一带内进行平差，需把另一带的坐标换算为该带的坐标。 （2）分界子午线附近重叠部分的大地点需计算相邻两带坐标系的坐标值， （3）6°带同3°、1.5 °带之间相互坐标换算

（4）因特殊需要，把国家带的坐标化为任意带坐标

2）换带方法： （1）间接法：利用高斯投影正反算公式进行换带计算 （2）直接法 3）坐标换带的实质：利用椭球面上的坐标过渡，只不过中央子午线经度不同而已 四、证明：证明：

。(6分) ?

五、计算与绘图 ：

设高斯平面上有一点，其坐标值为x1=0m，y1=-290km,试绘图说明该点换算至相邻带上时，y2之概值是多少？注：设a =6400km，π取3.14，精确到km（10分）

解：从y1=-290km判断，该点的坐标应属六度带，故相邻带中央子午线经差为6°。

因x1=0m，故该点相应位于椭球面赤道上，而从高斯投影正算y=NcosB·l/ρ+…= r·l/ρ+…中，计算的主项为该点对应的平行圈弧长，即y=NcosB·l/ρ。

赤道上r=a=6400km,求出其离开中央子午线的经差为：290/6400·ρ°=290/6400·180/π=2.597531847° 所以在相邻带中离开中央子午线的经差为：6°-2.597531847°=3.402468153° 故相应弧长为：6400000·l°/ρ°=6400000·l°/（180/π）

8

=6400000·3.402468153°·3.14/180=379867 m≈380 km y2之概值为380 km。

六、论述题：高斯投影应满足哪三个条件？论述推导高斯投影反算公式的基本思想（12分）。 答：1）高斯投影满足的三个条件为：

（1）正形投影：投影长度比在一个点上与方向无关； （2）中央子午线投影后为一直线，且是投影点的对称轴； （3）中央子午线投影后长度不变 2）公式推导基本思路

高斯投影是按带投影的， 任一点的投影，只要看它属哪一带，确定出中央子午线经度就可以了，故投影只与经差有关了。

变为:

①由对称条件：

中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线 ，有： 椭球面：与中央子午线对称两点（A、A’）， 投影面：投影后的两点（a、a’）也以x轴对称。

在数学上，F1为l的偶函数，F2为l的奇函数。

因为在每带中，l/ρ?不大，是一个微小量，可展成幂级数。

m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函数。 ②由正形条件：

正形投影必须满足的基本条件--柯西.黎曼条件，可求出 m０，ｍ１，ｍ２的递推公式，即它们存在递推关系，故只要求出m０即可。 ③由等长条件：

中央子午线投影后长度不变

中央子午线的经差l =0，由前面，当l =0时，x= m０ 可见， m０就是在中央子午线上的一段弧长。

X：当l=0时，X为自赤道量起的子午线弧长。这是可以计算的，故可把所有的系数求出，而得到正算公式。 一、名词解释（每个2分，共10分）

1、球面角超：球面四边形或三角形内角之和与平面四边形或三角形内角之差称为四边形球面角超或三角形球面角超。

2、总椭球体：总椭球体的中心与地球的质心重合，其短轴与地球的地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合，而且与地球体最佳密合的椭球体。

3、大地主题反算：已知椭球面上两点的大地经纬度求解两点间的大地线长度与正反方位角。 4、子午线收敛角：高斯投影面上任意点子午线的投影线的切线方向与该点坐标的正北方向的夹角。

9

5、水准标尺基辅差：精密水准标尺同一视线高度处的基本分划与辅助分划之差。 二、填空（每空1分，共30分）

1、春分点、周日视运动、平太阳时 2、IERS、站坐标、速度场 3、中央子午线、赤道、两极 4、引力位、离心力位、伽 5、走向、

6、椭球面、重力扁率、

9、

、

、

7、精度、可靠性、费用 8、标高改正、垂线偏差改正、截面差改正

10、3026255m、－21438m、117度

三、选择题（每小题2分，共8分） 1、B 2、 A 3、A 4、B 四、简答题（每小题6分，共24分）

1、按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面向球面的过渡；在球面上解算大地问题；按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。

2、水准测量的概算包括：水准尺每米长度误差改正、正常水准面不平行改正计算、（重力异常改正计算）、水准路线闭合差计算、高程改正数计算、概略高程计算。

3、当控制网跨越两个投影带，起算点分别位于两带的情况下;当位于分界子午线附近测图或者要实现两临带地形图的拼接时，重叠区域的控制点需要有相临带的坐标;大比例尺测图或在工程测量中，往往采用3度、1.5度或任意度带，往往需要将国家6度带的坐标换算到其它带的坐标。上述情况下往往需要换带计算。

高斯投影换带计算过程：首先通过高斯投影反算计算该点的大地经纬度，确定换带中央子午线的经度，计算经差；按照高斯投影正算计算该点在另一带的平面直角坐标。

4、如果不考虑仪器本身的误差与观测误差，由同一起始水准点出发，由几何水准测量经不同的水准线路测量同一未知点的高程是不相同的，换句话说，由同一起始点测量水准闭合环线的高程闭合差不等与零，其闭合差称为水准理论闭合差。

水准理论闭合差是由于水准面不平行的原因所引起的，因此在精密水准测量中，为了消除水准面不平行对水准测量的影响，一般要在几何水准观测高差中加入水准面不平行改正计算。 五、论述题（共13分）

1）将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标 x, y；为了检核还应进行反算，亦即根据 x, y反算B，L。

2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角，通过计算该点的子午线收敛角及方向改化实现。 3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角，通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现。4) 将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。

因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等计算工作。 六、计算与证明(第1小题7分，第2小题8分，共15分） 2、解：

已知该点x=0m,? y＝-290m, 则该点位于赤道上。忽略投影长度改正，该点与中央子午线的经差为：

＝

因为6度带与3度带在赤道上的半带宽分别大约为：

该坐标在6度带内。

则该点与相临带中央子午线的经差为

解法1：该点在相邻带的y坐标概值：

解法2：该点在相邻带的y坐标概值： y=335-290+335=380km。

10

大地测量复习总结

参考椭球：其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。

水准面高度：大地水准面高度又称大地水准面差距N，似大地水准面高度又称高程异常ζ

理论闭合差：由于水准面不平行，对应的Δh和Δh’不相等，水准环线高程闭合差也不等于零，称为理论闭合

差。

大地水准面：我们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为大地水准面

正高：正高系统是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高是该点沿垂线方向至大地水准面的距离。 正常高：正常高系统是地面点到一个与大地水准面极为接近的基准面的距离，这个基准面称为似大地水准面。 1956年黄海高程系统：1950年至1956年7年间青岛验潮站的潮汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基

准面。

1985国家高程基准：根据青岛验潮站 1952～1979年中取19年的验潮资料计算确定，并从1988年1月1日

开始启用。

垂线偏差：地面一点上的重力向量g和相应椭球面上的法线向量 n之间的夹角定义为该点的垂线偏差。

空间直角坐标系：坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一

时刻的平均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。

法截面：过椭球面上任意一点可作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面就叫法截面。

法截线（法截弧）：法截面与椭球面的交线。

卯酉圈：过某点法线的无数个法截面中，与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈就称为卯酉圈。 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较：单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平

行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1°约为110KM，1′约为1.8KM，1″约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。

相对法截线：假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的

照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面 AnaB同椭球面的截线为AaB，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B照A点，则照准面BnbA同椭球面的截线为BbA ，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因A，B的法线互不相交，故这两条法截线不重合。我们把AaB和BbA叫做A、B两点的相对法截线。

大地线：椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。 将地面观测的方向值归算到椭球面基本要求：

1) 以椭球面的法线为基准；

2) 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。

垂线偏差改正：把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为垂

线偏差改正。

标高差改正：当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同

椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正

截面差改正：将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正。

大地主题正解：已知一点的大地经度、大地纬度以及该点至待求点的大地线长度和大地方位角，计算待求点的

大地经度、大地纬度和待求点至已知点的大地方位角的解算。

大地主题反解：已知两点的大地经度和大地纬度，计算这两点间的大地线长度和正反大地方位角的解算。 地图数学投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专

门学科叫地图投影学。

长度比（m）：投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。 长度变形：v?m?1

角度变形：角度变形就是投影前的角度u 与投影后对应角度u’之差

11

面积变形：P-1；P?高斯投影必须满足：

?ab?ab ?1) 高斯投影为正形投影，即等角投影；

2) 中央子午线投影后为直线，且为投影的对称轴； 3) 中央子午线投影后长度不变。

高斯投影的特点:

1) 中央子午线投影后为直线，且长度不变。

2) 除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对称轴。投影后有

长度变形。

3) 赤道线投影后为直线，但有长度变形。

4) 除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。 5) 经线与纬线投影后仍然保持正交。

6) 所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l。 7) 离中央子午线愈远，长度变形愈大。

将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容：

1) 将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检核还应进行反算，亦即根据x，y反算

B，L。

2) 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐

标方位角。

3) 通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成

的三角形内角。

4) 通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。 5) 当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。 6) 由S化至D所加的△S改正称为距离改正 。

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k? R

三角测量法：

2xi2?xi1?（xi1?x0）?kyi2?yi1?（yi1?y0）?k? 优点：图形简单，结构强，几何条件多，便于检核，网的精度较高。

? 缺点：易受障碍物的影响，布设困难，增加了建标费用；推算边长精度不均匀，距起始边越远边长精度越低。

导线测量法:

? 优点：布设灵活，容易克服地形障碍；导线测量只要求相邻两点通视，故可降低觇标高度，造标费用少，且

便于组织观测；网内边长直接测量，边长精度均匀。

? 缺点：导线结构简单，没有三角网那样多的检核条件，不易发现粗差，可靠性不高。

三边测量及边角同测法：边角全测网的精度最高，相应工作量也较大。在建立高精度的专用控制网(如精密的

形变监测网)或不能选择良好布设图形的地区可采用此法而获得较高的精度。

天文测量法：天文测量法是在地面点上架设仪器，通过观测天体(主要是恒星)并记录观测瞬间的时刻，来确定

12

地面点的地理位置，即天文经度、天文纬度和该点至另一点的天文方位角。 ? 优点：各点彼此独立观测，也勿需点间通视，测量误差不会积累。 ? 缺点：精度不高，受天气影响大。 ? 用途：在每隔一定距离的三角点上观测天文来推求大地方位角，控制水平角观测误差积累对推算方位角的影

响。

建立国家平面大地控制网的基本原则：

1) 2) 3) 4)

大地控制网应分级布设、逐级控制 大地控制网应有足够的精度 大地控制网应有一定的密度

大地控制网应有统一的技术规格和要求

平面大地控制网的布设;技术设计（收集资料、实地踏勘、图上设计），实地选点，建造觇标，标石埋设，外

业测量，平差计算。

GPS的选点要求如下:

1)

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

基础坚实稳定，便于永久保存，便于使用。 点位周围应便于安置天线和GPS接受机。视野开阔，视场内周围成片障碍物的高度角一般应小于15°。 点位应远离大功率无线电发射源（如电视台，微波站及微波通道等），以避免周围电磁场对信号的干扰。 点位周围不应有对电磁波反射(或吸收)强烈的物体（如大片水域）； 点位应选在交通方便的地方, 以提高作业效率。

选定点位时，应考虑便于用常规测量手段联测和扩展，至少有一个通视方向； 应尽量利用测区内已有的标石；

GPS点均应有点名和点号，点名可以按村名、单位名、建筑物名来命名，点号按4位数字编写，以G2×××来表示，G代表GPS点，2代表等级，××× 代表点的顺序号。对被利用的旧点，点号应重新统一编号，但点名应保留原名。

9) 所有GPS点，不论新点和旧点，按规范统一绘制点之记。 10) 地面点和屋顶点应保持适当的比例。 11) 点位选好后，应该绘制点位略图。

控制网设计质量标准：精度标准、可靠性标准、费用标准、可区分标准及灵敏度标准 内部可靠性：在显著水平下，以检验功效发现粗差的下界 外部可靠性：不可发现的粗差对平差结果影响的大小。 网的优化设计分类：

设计分类

零类设计（ZOD） 一类设计（FOD） 二类设计（SOD） 三类设计（THOD）

固定参数 B，P P，Qxx B，Qxx

Qxx，部分B，P

待定参数 X，Qxx B P

部分B，P

国家高程控制网的布设目的和任务有两个：

1) 建立统一的高程控制网，为地形测图和各项建设提供必要的高程控制基础；

2) 为地壳垂直运动、平均海面倾斜及其变化和大地水准面形状等地球科学研究提供精确的高程数据。

国家高程控制网的布设原则：

1) 2) 3) 4)

从高到低、逐级控制 水准点满足一定的密度 水准测量达到足够的精度 一等水准网应定期复测

水准网布设：技术设计、选点和埋石

工程测量控制网的分类：测图控制网、施工控制网、变形观测专用控制网 工程平面控制网的布设原则：

13

1) 分级布网，逐级控制

2) 要有足够的精度：按照控制网的用途及所需精度布网 3) 要有足够的密度：合理地考虑控制点的密度

工程平面控制网的技术设计：

1) 2) 3) 4)

收集、整理已有的测绘成果资料 确定所采用的坐标系和起算数据 控制网网形设计

部分GPS点的水准联测方案

方向观测法：从起始方向开始依次观测所有方向，从而确定各方向相对于起始方向的水平角的观测方法。 仪器加常数改正：因测距仪、反光镜的安置中心与测距中心不一致而产生的距离改正，称仪器加常数改正,包

括测距仪加常数和反光镜加常数。

仪器乘常数改正：因测距仪的基准频率等因素产生的尺度参数成为乘常数。

气象改正ΔDn：此项改正的实质是大气折射率对距离的改正。因折射率与气压、气温、湿度有关，因此习惯上

我们称为气象改正。

GPS网布设方式：跟踪站式、会战式、多基准站式、同步图形拓展式（点连式、边连式、网连式、混连式）、

星型布网方式

GPS网基准：尺度基准、方位基准、位置基准 GPS网布设原则：P-349

大地测量学思考题集

1．解释大地测量学，现代大地测量学由哪几部分组成？谈谈其基本任务和作用？

大地测量学----是测绘学科的分支，是测绘学科的各学科的基础科学，是研究地球的形状、大小及地球重力场的理论、技术和方法的学科。

大地测量学的主要任务：测量和描述地球并监测其变化，为人类活动提供关于地球的空间信息。具体表现在

（1）、建立与维护国家及全球的地面三维大地控制网。 （2）、测量并描述地球动力现象。 （3）、测定地球重力及随时空的变化。

大地测量学由以下三个分支构成：几何大地测量学，物理大地测量学及空间大地测量学。 几何大地测量学的基本任务是确定地球的形状和大小及确定地面点的几何位置。作用：可以用来精密的测量角度，距离，水准测量，地球椭球数学性质，椭球面上测量计算，椭球数学投影变换以及地球椭球几何参数的数学模型

物理大地测量学的基本任务是用物理方法确定地球形状及其外部重力场。主要内容包括位理论，地球重力场，重力测量及其归算，推求地球形状及外部重力场的理论与方法等。

空间大地测量学主要研究以人造地球卫星及其他空间探测器为代表的空间大地测量的理论、技术与方法。 2、大地测量学的发展经理了哪些阶段，简述各阶段的主要贡献和特点。

分为一下几个阶段：地球圆球阶段，地球椭球阶段，大地水准面阶段，现代大地测量新时期

地球圆球阶段 ，首次用子午圈弧长测量法来估算地球半径。 这是人类应用弧度测量概念对地球大小的第一次估算。

地球椭球阶段，在这阶段，几何大地测量在验证了牛顿的万有引力定律和证实地球为椭球学说之后，开始走向成熟发展的道路，取得的成绩主要体现在一下几个方面：

1）长度单位的建立 2） 最小二乘法的提出 3） 椭球大地测量学的形成 4）弧度测量大规模展开 5）推算了不同的地球椭球参数

这个阶段为物理大地测量学奠定了基础理论。

大地水准面阶段，几何大地测量学的发展：1）天文大地网的布设有了重大发展，2）因瓦基线尺出现 物理大地测量学的发展 1）大地测量边值问题理论的提出 2）提出了新的椭球参数

现代大地测量新时期 以地磁波测距、人造地球卫星定位系统及其长基线干涉测量等为代表的新的测量技术的出现，使大地测量定位、确定地球参数及重力场，构筑数字地球等基本测绘任务都以崭新的理论和方法来进行。

14

由于高精度绝对重力仪和相对重力仪的研究成功和使用，有些国家建立了自己的高精度重力网，大地控制网优化设计理论和最小二乘法的配置法的提出和应用。

3．大地测量学如何控制地形测图的，大地测量未来发展方向如何？

答：通过分级布设控制网，逐级控制。一等三角网是国家大地控制网的骨干，一等三角网尽可能沿经纬线方向布设成纵横交叉的网状图形；二等三角网是在一等网控制下布设的，它是国家三角网的全面基础，同时又是地形测图的基本控制；三、四等三角网是在一、二等网控制下布设的，是为了加密控制点，以满足测图和工程建设的需要。

大地测量未来的发展方向：1）.全球卫星定位系统，激光测卫（SLR）以及基长基线干涉测量（VLBI）是主导本学科发展的主要的空间大地测量技术。2）.空间大地网是实现本学科科学技术任务的主要技术方案。3）.精化地球重力场模型是大地测量学的重要发展目标。 4．简述物理大地测量学的主要任务和内容？

答：物理大地测量学也有称为理论大地测量学。它的基本任务是用物理方法（重力测量）确定地球形状及其外部重力场。主要内容包括位理论，地球重力场，重力测量及其归算，推求地球形状及外部重力场的理论与方法等。 5．解释重力、引力、离心力、引力位、离心力位、重力位、地球重力场、正常重力、正常重力位、扰动位等概念，简述其相应关系。

答：地球引力及由于质点饶地球自转轴旋转而产生的离心力的合力称为地球重力。 引力F是由于地球形状及其内部质量分布决定的其方向指向地心、大小

F=f·M·m/r∧2。

离心力P指向质点所在平行圈半径的外方向，其计算公式为P=m w∧2·p 引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。 离心力位

重力位就是引力位V和离心力位Q之和。

地球重力场是地球的种物理属性。表征地球内部、表面或外部各点所受地球重力作用的空间。根据其分布，可以研究地球内部结构、地球形状及对航天器的影响。

正常重力

正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力

位。

扰动位是地球正常重力位与地球重力位的差异。

6.简述引力、离心力方向及其决定因素如何？地球引力位公式一般有可以哪几种方式表达？ 答：（1）引力是由地球形状及其内部质量分布决定，离心力指向质点所在平行圈半径的外方向，它是由质点绕地球自转轴旋转而产生，其大小由质点质量，地球自转角速度，质点所在平行圈半径共同决定。 （2）地球引力位公式： V= f·M·m/r V=∫dV=f·∫dm/r

A=∣-∫dV∣=V(Q)-(Q。)

7．如何理解引力位几何意义及其物理意义？ 答：几何意义：

按牛顿万有引力定律，空间两质点M和m相互吸引的引力公式是：

F=f·M·m/r2

假设两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，那么必须做功：

dA=f·M·m/ r2·dr

此功必等于位能的减少：

-Dv= f·M·m/ r2·dr 对上式积分后，得出位能：

V=f·M·m/ r 物理学意义：

15

从物理学方面来说，在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处 移动到该点引力所做

的功

8．引力位、离心力位、重力位是否调和函数，为什么？ 答：引力位是调和函数，它满足拉普拉斯算子。

离心力位的二阶导数算子△Q, △Q=2w2，所以离心力位函数不是调和函数。 重力位二阶导数之和，对外部点：△W=△V+△Q=2w2

对内部点，不加证明给出：△W=△V+△Q=-4∏fδ+2w2(δ-体密度)，

由于它们都不等于0，故重力位不是调和函数。 9．研究重力位有何意义？为什么要研究正常重力位？ 答：（1）研究重力位可以方便的得到一簇曲面，称为重力等位面。 （2）正常重力位是一个函数简单，不涉及地球形状和密度便可以直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异，便可以求出大地水准面与已知形状的差异，最后解决地球重力位和地球形状的问题。

10．解释大地水准面、大地体、总椭球、参考椭球、大地天文学、拉普拉斯点、黄道面、春分点、大地水准面差距。

答：与平均还平面相重合，不受潮汐、风浪及大气压的影响，并延伸到大陆下面处处与前垂线相垂直的水准面称为大地水准面。

大地水准面是一个没有褶皱、无棱角的连续封闭曲面。由它包围的形体称为大地体。

总的地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，同时还要求总的地球椭圆和大地体最为密度。

参考椭球是指具有一定参数、定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。

大地天文学主要是研究用天文测量的方法，确定地球表面的地理坐标及方位角的理论和实际问题。 在天文大地点上同时测定方位角的点称为拉普拉斯点。 黄道是太阳周年的视运动沿着大圆的运动圈。

春分点是黄道和赤道的交点，并被看作固定的恒星点。

大地水准面差距是指大地水准面与地球椭球面之间的距离

11．重力扁率同椭球扁率之间的关系如何？（克莱罗定理）

答：在旋转的椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。 14 解释水准面的含义及性质,为什么说水准面有多个?

答:含义:我们把重力位相等的面称为重力等位面,这也就是我们通常所说的水准面.

性质:1、由于重力位是由点坐标唯一确定的，故水准面相互既不能相交也不能相切；

2、在一个水准面上移动单位质量不做功，即所做共为0，可见水准面是均衡面； 3、在水准面上，所有点的重力均与水准面正交；

4、由于两个水准面之间的距离不是一个常数，故两个水准面彼此不平行； 5、力线与所有水准面都正交，彼此不平行。

由于重力位W是标量函数，只与点的空间位置有关，因此当W(r,θλ)等于某一常数时，将给出相应的曲面，给出不同常数将得到一簇曲面，在每一个曲面上重力位都相等，显然，在质体周围可以形成无数个水准面。

解释大地水准面含义及性质，为什么各国的大地水准面实际上不一致？

答：含义：设想与平均海水面想重合，不受潮汐，海浪及大气压变化影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面。

性质：大地水准面具有水准面的一切性质。

大地水准面的形状及重力场都是不规则的，不能用一个简单的形状和数学公式表达。我们目前尚不能唯一的确定它的时候，各个国家和地区往往选择一个平均海水面代替它。而各个国家所测得的平均海水面是不同的。所以各国的大地水准面实际上是不一致的。

15、解释似大地水准面含义和性质，简述水准面、大地水准面、似大地水准面的异同点？

答：含义：似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2~4m的差异。

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似大地水准面尽管不是水准面，但它可以严密地解决关于研究与地球自然地理形状有关的问题。它是我们计算正常高的基准面。

性质：似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2~4cm的差异。 异同点：水准面有很多个，大地水准面只有一个，似大地水准面也只有一个； 水准面既不能相交也不能相切，所有的重力均与水准面正交水准面彼此不平行，大地水准面有水准面的一切性质，似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2~4cm的差异。 16、解释总椭球、参考椭球及正常椭球的含义、性质和作用，分析它们异同点。（31、30） 答：总椭球

为研究全球性问题，需要一个和整个大地体最为密合的总的地球椭球。如果从集合大地测量来研究全球性问题，那么总的地球可按几何大地测量来定义：总地球椭球中心和地球质心重合，总椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，同时还要求总椭球和大地体最为密合。

如果从几何和物理两个 方面来研究全球性问题，可把总椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理决定的，并由国际组织发布。总椭球对于研究地球形状是必要的

参考椭球指具有一定参数、定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。 对于天文大地测量及大地点坐标的推算，对于国家测图及区域绘图来说，往往采用其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最接近，所有地面测量都依法线投影在这个椭球面上，我们把这样的椭球叫做参考椭球。很显然，参考椭球在大小及定位定向上都不与总地球重合。由于地球表面的不规则性，适合于不同地区的参考椭球的大小，定位和定向都不一样，每个参考椭球都有自己的参数和参考系。

正常椭球

正常椭球面是大地水准面的规则形状。我们选择正常椭球时，除了确定其M和w值外,其规则形状可任意选择.对于正常椭球,除了确定其4个基本参数a, j2,,fM和w外,也要定位和定向.正常椭球的定位是使其中心和质心重合,正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合, 起始大地子午面和起始天文子午面重合. 17、简述我国的高程基准面、原点高程及确定方法。 答：（1）高程基准面就是地面点高程的统一算面，由于大地水准面所形成的体形——大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。

确定方法：大地水准面是假想海洋处于完全静止的平衡状态时的海水面延伸到大陆地面以下所形成的闭合曲面。事实上，海洋受潮汐、风力的影响，永远不会处于完全静止的平衡状态，总是存在着不断的升降运动，但是可以在海洋近岸的一点竖立水位标尺，成年累月的观测海水面的水位升降，根据长期观测的结果可以求出该点处海洋水面的平均位置，人们假定大地水准面就是通过这点处实测的平均海水面。对于同一个国家来说，只能根据同一个验潮站所求得的平均海水面作为全国高程的统一起算面——高程基准面。

（2）水准原点：为了长期、牢固地表示出高程基准面的位置，作为传递高程的起算点，必须建立稳固的水准原点，用精密水准测量方法将它与验潮站的水准标尺进行联测，以高程基准面为零推求水准原点的高程，以此高程作为全国各地推算高程的依据。在“1985国家高程基准”系统中，我国水准原点的高程为72.260m. 18简述大地测量常用坐标系的定义、建立及相互关系。

答：如图所示，P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角L，叫做P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经(0－180度)，向西为负，叫西经(0－180度)。P点的法线Pn与赤道面的夹角B，叫做P点的大地纬度，由赤道面起算，向北为正，叫北纬(0-90度)；向南为负，叫南纬(0－90度)。在该坐标系中，P点的位置用L，B表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L、B外，还要附加另一参数——大地高H。

17

建立大地坐标系包括确定椭球的参数、 定位 、定向等三方面。

当坐标原点为在总地球椭球(或参考椭球)质心时，此时称为地心(或参心）空间直角坐标系。

天文坐标系是以前垂线为依据建立起来的:天文纬度是P点的铅垂线与地球赤道形成的锐角,天文经度是天文起始子午面通过P点的天文子午面之间形成的二面角.

如图所示，设P点的大地经度为L ，在过P点的子午面上，以子午面椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示。

设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系。连接OP，则pox称为地心纬度，而OP＝ 称为P点向径.

设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交P1点，则OP1与x轴夹角称为P点的归化纬度，用u表示，在此归化纬度坐标系中，P点位置用L，u表示。

18．简述地球椭球基本参数、相互关系及经验结论，绘图说明地球椭球辅助函数W、V的几何意义。（29、28） 地球椭球基本参数有：

地球椭球基本参数及其互相关系

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W=op’/a,v= op’/b

19、什么是椭球中心三角形，其边长大小如何？（29、28）

答：过椭球上任意一点做法线与赤道交点,长短半轴交点构成的三角形是地球中心三角形. 20、为什么说椭球面上的点（两极及赤道除外）的法线一般不通过椭球中心？（29、28） 答：同一点的大地坐标和天文坐标的法线和垂线不一致,亦即由垂线偏差引起的. 21、简述大地纬度、地心纬度、归化纬度的概念，其相互关系如何？（29、28） 答：某点法线与赤道面的夹角，叫做该点的大地纬度。

设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭球中心O为原点建立地地心纬度坐标系。连接OP，则POX=称为地心纬度。

设椭球面上P点的大地纬度为L，在此子午面上以椭球中心为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交P点，则与x轴夹角称为P点的归化纬度。 大地纬度B，归化纬度u，地心纬度之间的关系;

22、解释垂线偏差，造成地面各点垂线偏差不等的原因有哪些?，简述研究垂线偏差有何意义？ 地面上一点的重力向量g和相应椭球面上的法线向n量之间的夹角定义为该点的垂线偏差. 通过垂线偏差把天文坐标同大地坐标联系起来了，从而实现两种坐标之间的相互转换。 23、何为拉普拉斯方程，简述大地坐标系与天文坐标系的关系。（27、26） 答：1. B=ψ-ξ

L=λ-ηsecψ A=α-(λ-L)cosψ

以上三个公式是天文方位角规算公式，也叫拉普斯公式 B=ψ-ξ (1) L=λ-ηsecψ (2)

以上两式为天文纬度、经度和大地纬度和经度的关系。若已知一点的垂线偏差，一举上式，便可将天文纬度和经度换算为大地纬度和经度。通过垂涎偏差把天文坐标同大地坐标联系起来了，从而实现两种坐标的互换。 拉普拉斯方程描述了大地方位角与天文方位角之间的关系 24、大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？测量外业及内业计算的基准线与基准面是什么？天文大地测量和测绘工作关系如何？（27、26）

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1.大地坐标系：基准面为：地球椭球 基准线为： 铅垂线 天文坐标系：基准面为：地球椭球 基准线为：铅垂线

2.测量外业和内业的基准线是铅垂线，基准面是大地水准面

3.在天文大地点上推求出的垂线偏差资料可被用来详细研究大地水准面（或似大地水准面）相对参考椭球的倾斜及高度，从而为研究地球形状提供重要的信息。天文测量还可以给出关于国家大地网起算点的起始数据，天文坐标还可以解决关于参考椭球定位、定向，大地测量成果向统一坐标系得归算等问题。总之，天文大地测量和我们测绘工作紧密相连。

25、解释正常位水准面、重力异常、重力位水准面、垂线偏差

正常位水准面： 重力异常：

重力位水准面：重力位相等的面称为重力等位面，即通常所说的水准面。

垂线偏差：地面上一点的重力向量g和相应椭球的法线向量n之间的夹角定义为该点的垂线偏差。 26、参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？

椭圆的长半轴a 椭圆的短半轴b

椭圆的扁率α=(a-b)/a

扁率α反映了椭球体的扁平程度，α值介于1和0之间，如当a=b时，a=0，椭球变为球体；当b减小时，α增大，则椭球体变扁；当b=0时，α=1时，则变为平面。 27:我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么？ 答：我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球

1980年国家大地坐标系应用的是1975国际椭球 这两种椭球的主要参数是： ① 克拉索夫斯基椭球体

a 6378245.0000000000(m) b 6356863.0187730473(m) c 6399698.9017827110(m) ａ 1/298.3

e^2 0.006693421622966 e’^2 0.006738525414683 ② 1975国际椭球体

a 6378140.0000000000(m) b 6356755.2881575287(m) c 6399596.6519881015(m) ａ 1/298.257

e^2 0.006694384999588 e’^2 0.006739501819473

28：什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？

答 ：大地测量的基本坐标系是的大地坐标系和空间直角坐标系

这两种坐标系在大地测量、地形测量以及制图学的理论研究及实践工作中都得到了广泛的应用。因为

它们将全地球表面上的关于大地测量、地形测量及地图学的资料都统一在一个统一的坐标系中。此外，它们是由地心、旋转轴、赤道以及地球椭球法线确定的，因此，它们对地球自然形状及大地水准面的研究、高程的确定以及解决大地测量及其他科学领域的科学和实践问题也是最方便的。

29：水准测量为什么产生高程多值问题(理论闭合差)？

答：由水准面不平行而引起的水准环线闭合差，称为理论闭合差

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30：水准测量中，研究高程系统的作用如何？高程系统分为几种，我国规定采用哪种作为高程的统一系统。

答：引进高程系统，是为了解决水准测量高程多值性问题

高程分为正高系统、正常高系统、力高和地区力高高程系统 我国采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统

三角高程属于正高系统

31：解释理论闭合差、正高系统、正高、正常高系统、似大地水准面、大地水准面差距。

答：理论闭合差：水准面不平行而引起的水准环线闭合差 正高系统：以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高系指改点沿垂线方向至大地水准面的距离 正高：是一种唯一确定的数值，可以用来表示地面点的高程。

正常高系统：将正高系统中不能精确测定的 用正常重力代替，便得到另一种系统的高程，称为正常高 似大地水准面：由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅

助面

大地水准面差距：任意一点正常高和正高之差，亦即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的值

32解释正常高和正高的几何含义,为什么正高是一种确定的值?

答:正高是以大地水准面为高程基准面,大面上任一点的正高系指该点沿垂线方向至大地水准面的距离.

用正常重力代

代替,便得到另一种系统的高程,称其为正常高.

将正常高中不能精确测定的

正高是不依水准路线而异的,这是因为式中的是常数,是过B点的水准面与起始大地水准面之间位

能差,与不随路线而异,因此,正高是唯一一种确定的数值. 32写出正常高,正常高高差计算公式,并说明各项的几何意义. 答:有正常高差计算公式:

33写出正高与正常高的之差公式,并说明在不同地区的差异.

答:

在海水面上,正常高和正高相等,即大地水准面和似大地水准面重合.在山区或者在平原则不相等.

34解释力高系统,说明为什么要引用力高系统.

21

答:力高系统也就是说将正常高公式中的r(m,A)用纬度45度的正常重力r45度代替,一点的力高就是水准面在纬度45度处的正常高.

因为如果纬度变化很大,那高程差很大,会远远超过测量误差,这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的,为了解决这个矛盾,可以采用所谓力高系统.

35绘图说明大地高,正高与正常高的关系. 答:

B点为正高,A点为正常高,O点为大地高. 大地高是以地球椭球面为基准面。 地面任点的正常高是指该点沿法线方向至似大地水准面的距离。 高程异常是指似大地水准面与地球椭球面之间的距离

36.沿着同一纬度圈进行水准测量是否需要加入正常重力位不平行性改正,为什么?

答:不需要.因为是沿着同一纬度圈进行水准测量的,而正常位水准面不平行改正数是随纬度变化而变化的. 37.什么叫子午圈、平行圈、法截面、法截线、卯酉圈？特性如何？

答：子午圈就是过椭球旋转轴与椭球的交线；平行圈就是平行于赤道的平面与椭球体的交线；过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面的交线叫法截线；过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭和的圈称为卯酉圈。特性：(1)B=0°时，在赤道上，M小于赤道半径;此时卯酉圈变为赤道,N即为赤道半径a.(2)0°

38．简要叙述M、N、R三种曲率半径之间的关系。

答：椭球面上某一点M、N、R均是自该点起沿法线向内量取，它们的长度通常是不相等的，由它们各自的计算公式比较可知它们的关系是N>R>M，只有在极点上它们才相等，且都等于极曲率半径c,即N90=R90=M90=c。 39.试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。

解:在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS,相应的有坐标增量dX,点n 是微分dS的曲率中心,于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M.

由任意平面曲线的曲率半径的定义公式,易知m?ds db子午圈和卯酉圈曲率半径的计算公式的推导见书64页。由于需结合图解才能比较好的理解，而且鄙人还没学会怎样打出公式，所以无法写成电子版，望老师见谅！！！

40．B≠0°的平行圈是否可能是法截线？为什么？卯酉圈曲率半径N与子午圈半径M何时有最大值？何时有最小值？ 答：不能。法截线是法截面与椭球面的交线，过椭球的任意一点作一条垂直椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面。故各点的法截面都不平行于赤道，所以法截线不可能是平行于赤道的。B≠0°的平行犬不可能是法截线。当B=90°时，卯酉圈曲率半径N与子午圈半径M有最大值，当B=0°时，N，M有最小值。

41．某点到赤道的子午弧长S=3745682.193米，求该点的纬度。a=6378245,α=1/298.3 解：β=X/6367588.4969=0.588242

Bf?β+(50221746+(293622+(2350+22cos2?）cos2?）cos2?）10?10sin?cos?

=23°07′06″

42.已经某点的纬度B=31°28′16″.2831，求该点自赤道起的子午弧长。a=6378245,α=1/298.3。

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解：X?C0B?(C2cosB?C4cosB?C6cosB?C8cosB)sinB

357C0=6367558.4969m C2=-32140.4049m C4=135.3303m C6=-0.7092m C8=0.0042m ∴X=3487938.241m

43.为什么说任意方向法截线曲率半径RA随A的变化以90°为周期的？这一结论对椭球问题的解算有什么意义？ 答： RA=

N

1+e'2 cos2Bcos2A

当A由0°→90°时，RA之值由M→N，当A由9错误！未指定书签。0°→180°时，RA值由N→M，可见RA值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。

子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合，而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，推导从赤道到已知纬度B见的子午线弧长的计算公式就足够使用了。

44、当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什么？ 答：从RA的计算公式：

R

RA=R- —e′^2cosBcos2A 2

可知，RA不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。因为当椭球元素确定之后，R确定了， 根据上式可知只要再知道B、A即可。

45、解释平均曲率半径、大地测量主题解算正算、大地测量主题解算反算、正常水准面不平行性、高斯投影坐标正算、高斯投影坐标反算。

答：平均曲率半径：所谓平均曲率半径就是过椭球面上一点的一切法截弧（丛0→2兀），当其数目趋于无穷时， 它们的曲率半径的算术平均值的极限，用R表示。

大地测量主题解算正算：此时已知量：φ1，а1及σ；要求量：φ2，а2及λ。 首先按：

sinφ2=sinφ1cosσ+cosφ1sinσcosа1

式计算sinφ2,继而用下式计算φ2：

sinφ2

tanφ2=(1-(sinφ2)^2)^1\\2

为确定经差λ，将(a)\\(f)，得

sinσsinα1

tanλ=

cosφ1cosσ-sinφ1sinσcosα1

为求定反方位角α2，将（h）\\ (g)，得：

sinα1 cosφ1

tanα2=

cosφ1cosσcosα1-sinφ1sinσ

大地测量主题解算反算：此时已知量：φ1，φ2及λ；要求量：，σ，а1及α2。 为确定正方位角а1，我们将（a）\\（c），得：

sinλcosφ2 p

tanα1 = =

cosφ1 sinφ2 -sinφ1 cosφ2 cosλ q

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式中 p= sinλcosφ2,q= cosφ1 sinφ2 -sinφ1 cosφ2 cosλ

为求解反方位角α2，我们将（b）\\(d),得

sinλ cosφ1

tanα2=

cosφ1 sinφ2cosλ-sinφ1 cosφ2

为求定球面距离σ，我们首先将（a）乘以sinα1，（c）乘以cosα，并将它们相加；将相加的结果再除以（e）， 则得：

psinα1+qcosα1

tanσ=

cosσ

正常水准面不平行性：由于两水准面之间的距离dh??dw g可见，两个无穷接近的水准面之间的距离不是一个常数，这是因为重力在水准面不同点上的数值是不同的，故两个水准面彼此不平行。

高斯投影坐标正算：正算时，原面是椭球面，投影面是高斯平面，已知的是大地坐标（x,y），要求的是平面坐标（B,L），相应的有如下投影方程

y=φ1 (B,L) x=φ2(B,L)

对投影函数φ1和φ2提出如下三个条件： ⑴中央子午线投影后为直线； ⑵中央子午线投影后长度不变； ⑶正形投影条件。

高斯投影坐标反算：反算时，原面是高斯平面， 投影面是椭球面， 已知的是平面坐标（x,y）， 要求的是大地坐标（B,L）， 相应的有如下投影方程

B=φ1 (x,y) L=φ2(B,L)

对投影函数φ1和φ2提出如下三个条件：

⑴x坐标轴投影成中央子午线， 是投影的对称轴; ⑵x轴上的长度投影保持不变； ⑶正形投影条件。

46、研究平均曲率半径R对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R与RA的最大差异是多少？试将它对距离化算（用R代替RA）的影响作一定量分析。

答：平均曲率半径-----指过椭球面上一点的一切法截弧（从0→2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，用R表示R?MN。椭球面上任意点的平均曲率半径不一定相等，意义为：由于RA的

数值随方位而变化，这给测量计算带来不便。在测量工作中往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此叫要推求这个球面的半径，即为平均曲率半径，这就解决了由于RA的数值随方位而变化，这给测量计算带来不便。 由R和R A的差

R

△= —e′^2cosBcos2A 2

即可推出最大差异. 分析：从RA的计算公式：

R

24

RA=R- —e′^2cosBcos2A 2

可知，RA不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关，要求RA还要知道R，而R只与M、N有关，比较简单不用很麻烦。 47、在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道算起？若欲求纬度B1和B2间的子午线弧长（B1≠B2≠0°），如何计算?

答：因为子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合， 而迟到又把子午线分成对称的两部分， 因此，推导从赤道开始到已知纬度B间的子午线弧长的计算公式就足够使用了。

X1??MdB0B1X2??MdB0B2?X?X2?X1即为所求得弧长。

48、当子午线弧长不超过45km时，则可将其视为圆弧，试论证其计算精度的可靠性。 答：圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径Mm，其计算公式为：

X= Mm (B2-B1)″ = △B″

ρ″ (1)m

当子午线弧长不超过45km时,其弧度

48、简述计算子午椭圆周长的全过程。 答：1）、子午线关于地球椭球长短轴对称，则地球椭球周长为第一象限的子午线弧长的4倍；

2）、单位长度的子午线长度为，则第一象限的子午线弧长为MdB以纬度从0到90的积分。x=

0

0

??900MdB.

49、如何计算平行圈弧长？比较子午圈弧长和平行圈弧长的变化区别。 答：（1）旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴r就是圆上任意一点的子午面直角坐标x，即有

r=x=NcosB=acosB/(1?esinB)

如果平行圈上有两点，它们的经度差l”=L1-L2,于是可以写出平行圈弧长公式：

S=NcosB

22l?=b1l? ??很显然，同一个精度差l在不同纬度的平行圈上的弧长是不相同的，所以，平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为

dS??S??B??MsinBl???B ?B因为M?B??X,于是?S??(L2?L1)sinBm??X 式中 Bm?(B2?B1) 2（2）变化区别：单位纬度差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长；而单位精度差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。同时，1°的子午弧长约为110km，1′约为1.8km，1″约为30m，而平行圈弧长，仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着纬度的升高它们的差值愈来愈大。

50、研究相对法截线有何意义？绘图说明为什么不同纬度的P1、P2两点相向观测会产生相对法截面问题，画出某方向在不同象限时正反法截线的关系图。

答：1、在研究法截线的基础上定义大地线，进而研究大地线的性质和微分方程。

2、任取椭球面上两点P1和P2，纬度分别为B1和B2，B1不等于B2,通过两点分别作法线与短轴交于Na和

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Nb点，与赤道分别交于Q1、Q2，产生了两个法截面.如图 ：

3、 某方向在不同象限时正反法截线的关系图：

51、何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明理由： （1）任意方向法截线，（2）子午圈，（3）卯酉圈，（4）平行圈

答：假设经纬仪的纵轴同A、B两点的法线Ana 和 Bnb重合（忽略垂直偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面AnaB同椭球面的截线为AaB，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同样有B点照准A点，则照准面BnaA与椭球面之截线BbA,叫做B点的正法截线或A点的反法截线。因法线Ana和Bnb互不相交，故AaB和BbA这两条法截线不相重合。我们把AaB和BbA叫做A、B两点的相对法截线。

大地线：椭球面上两点间的最短程曲线

2、任意方向的法截线不一定是大地线，大地线是两点间唯一最短线，位于相对法截线之间，靠近正法截线，但仍有一夹角。

子午圈、卯酉圈都是大地线，因为它们都是法截面与椭球面相交的最短曲线。 平行圈不一定大地线，因为它

52、纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？

答：同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线是重合的，纬度相同的两点在同一平行圈上，所以纬度相同的两个点的相对法截弧是重合的。

此线就是大地线，大地线是位于相对法截线之间的唯一最短线，当两点的相对法截弧重合，所以该重合的法截弧亦为大地线。

53、为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么性质？

答：大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度的差异总是可忽略不计的。 大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截弧之间，并靠近正法截先，它与法截线间的夹角 δ=1/3△。 54、经过哪几步旋转和平移变换，可将站心系坐标变换到三维空间直角坐标系中。 55、大地线微分方程表达了什么之间的关系？有何意义？试述其推导思路。 答：大地线微分方程：dB=cosA/M·dS dL=sinA/NcosB·dS dA=sinA/N·tanBdS

大地线微分方程表达了dA dL dB各与 dS的关系式。（设P为大地线上的任意一点，其经度为L，纬度为B，大地线方位角为A。当大地线增加dS到P1点时，则上述各量相应变化dL dB 及dA）

意义：这三个微分方程在解决与椭球体有关的一些测量计算中经常用到。

推导思路：dS在在子午圈上分量p2p1=MdB,在平行圈上分量pp2=rdL=NcosBdL 有三角形pp2p1是一个微分

26

直角三角形，由三角形的各种关系可推得。

56、怎样理解克莱洛定理中大地线常数C的含义？ 答：克莱劳方程：r·sinA=C

式中常数C也叫大地线常数，它的意义可以从两方面来理解。 当大地线穿越赤道时，B=0°,r=a ,A=A。，于是 C=asinA。

当大地线达极小平行圈时 A=90°,设此时B=B。，r=r。，于是 C=r。·sin90°=r。

由此可见，某一大地线常数等于椭球半径与大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径。

57、地面观测的方向值归算至椭球面应加哪些改正？ 答：包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正。

58、试述三差改正的几何意义及实质。为什么有时在三角测量工作在中可以不考虑三差改正？

答：几何意义是1、将地面观测的水平方向归算至椭球面2、将地面观测的长度归算至椭球面，实质就是垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正。

由公式△Su=[ (u\可见，垂线偏差在基线偏差分量u及基线端点的大地高程有关，其数值一般比较小，此项改正是否需要，须结合测区及计算精度要求的实际情况作具体分析。 59、绘图说明三差改正对地面观测的方向值影响，三差改正数的大小，各与什么有关？ 答：见p79-p80页的图和公式就是答案。（由于绘图和输入公式我不会，所以就这么写了） 60、试定量分析距离改正公式在何种情况下需用下列或更精密的计算公式：

2?ym?y2??s?D?s???2R2?24R2??s

?? 答：当计算要求达到0.001m的时候，就要用更精确的距离改化公式。

61、将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式求得：

?H??HsH RA式中H应为边长所在高程面相对于椭球面的高差，而实际作业中通常用什么数值替代？这对?H的计算精度是否有影响？为什么？

答：实际作业中用平均高程Hm替代。有影响，因为改正数主要是与基线的平均高程Hm及长度有关。

62．根据垂直角将导线测量中的斜距化为平距时，有化算至测站高程面以及化算至测站点与照准点平均高程面上两种公式，两公式之间有何差异？试导出其差异的来源。 答：公式符号不会输入。

63. 绘图说明利用测距仪测得地面两点的直线斜距归算到参考椭球面上应加哪些改正，写出由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式，说明各参数含义。

答：将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，称为三差改正。 由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式为： d = D√ˉ｛｛1-[(H2-H1)/2]^2｝/(1+H1/RA)(1+H2/HA)｝ 64、进行大地测量主题解算与平面投影计算能解决何问题？

进行大地测量主题解算与平面投影计算能解决地面同椭球面的矛盾及椭球面与平面的矛盾 64.在边长大致相等的三角网中，各方向的方向改正值是否也大致相等？为什么？ 答：不是。

65.什么是球面角超？为什么应用球面角超可以检验方向改正值计算的正确性？ 答：

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如图，假设地球椭球为一圆球，在球面上在轴子午线之东有一条大地线AB，当然它定是一条大圆弧。

我们知道，在球面上四边形ABED的内角之和等于360°+ε，ε是四边形的球面角超。 66.什么叫大地主题解算？为什么要研究大地主题解算？其解析意义是什么？ 答：知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的计算问题叫大地主题解算。 椭球面上两控制点大地坐标，大地线长度方位角的正解和反解问题同平面上两控制平面坐标、平面距离及方位角的正反算是相似的。不过解算椭球面上的大地问

题要比平面上相应计算复杂得多。

大地主题正、反解原是用于推求一等三角锁中各点的大地坐标或反算边长和方位角的，目前由于大量的三角网都转化到高斯投影面上计算，所以它在三角测量计算中的作用就大大降低了。但是随着现代科学技术。特别是空间技术、航空、航海、国防等方面的科学技术的发展，大地主题又有了重要作用，解算的距离也由原来几十、几百公里扩大到几千甚至上万公里。

67.白塞尔投影条件是什么？论述白塞尔大地主题正反解算全过程。 答：白塞尔投影条件：（1）椭球面大地线投影到球面上为大圆弧；

（2）大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；

（3）球面上任意一点的纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。

步骤：1）按椭球面上的已知值球面相应值，即实现椭球面的过程。 2）在球面上解算大地问题。

3）按球面上得到的数值椭球面上的相应数值即实现椭球的过渡。 68、为什么要研究投影？简述投影的分类，我国目前采用的是何种投影？P108（5）

答：就是为了要将椭球面上的元素（包括坐标，方位和距离）按一定的数学法则投影到平面上，所以要去研究投

影，研究这个问题的专门学科——地图投影学 地图投影的分类： 1、 按变形性质分类：

1） 等角投影（正形投影） 2） 等积投影

3） 任意投影（保持某一方向上的长度比为一即为等距离投影） 2、 按经纬网投影分类

1） 方位投影 2） 圆锥投影

3） 圆柱（或椭圆柱）投影

在地图投影实际应用中，也可按投影面积和原面的相对位置关系来进行分类：

1） 正轴投影 2） 斜轴投影 3） 横轴投影

除此之外，为调整变形分布，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓的割圆锥，割圆柱投

影等。

我国大地测量中，采用横轴椭圆柱面等角投影，即所谓的高斯投影。

69、控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种的要求？P110（5） 答：首先，应当采用等角投影。

其次，在所采用的正形投影中，还要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这写变形而带来

的改正数。

最后，对一个国家乃至全世界，投影后的应该保证具有一个单一起算点的统一的坐标系，可这是不可能的。 因为为了控制测量选择地图投影时，应根据测量的任务和目的来进行。

70、椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去，必然会产生变形，此种变形一般可分为

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哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和应用？

答：变形有4种，1）长度变形，可利用主方向上的长度比a，b，即可计算任意方位角为α方向上的长度比。2）方向变形，计算公式：sin(α-α’）=（a-b）/(a+b)*sin(α+α’)。3）角度变形，所谓角度变形就是投影前的角度u与投影后对应角度u’之差△u=u’-u，最大角度变形可用最大方向变形计算，且是最大方向变形的两倍。4）面积变形，原面上单位圆的面积为Л，投影后的面积为Лab，则投影的面积比P=Лab/Л=ab 70、简述地图投影变形有几种，各适用于何种图件。（3、1） 答：：地图投影变形有4种，分别为①长度变形②方向变形③角度变形④面积变形

71.简述高斯投影过程,高斯投影应满足那些条件?6°带和3°带的分带方法是什么?如何计算中央子午线的经度及测区带号?高斯投影的分带会带来什么问题?

答:高斯投影是想象有一个椭圆柱面横套在地球体外面,并与某一条子午线相切,椭圆柱的中心轴通过椭球体中心,然后用一定投影方法,将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上,再将此柱面展开即成投影面.

满足的条件是:1,中央子午线投影后为直线2, 中央子午线投影后长度不变.3,投影具有正形性.

6°带,自0°子午线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1，2，3等。带号用N表示，中央子午线的经度用L 表示，则L = 6N-3。3°带的中央子午线单数带与6°带重合，偶数带与6°带分界子午线重合。L=3N 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，这给使用造成了不便。

72.为什么在高斯投影带上，某点的Y坐标值有规定值与自然值之分，而X坐标值却没有这种区分？在哪些情况下应采用规定值？在哪些情况下应采用自然值？

答：我国位于北半球，X坐标均为正值，而Y 坐标则出现负值，规定将X坐标向西平移500KM。此外还应在坐标前面再冠以带号。

当写国家统一坐标时应采用规定值，当计算时要先去掉带号，再减去500000M。 76. 正形投影有那些特征？何为长度比?

答：特征：微分圆的投影仍为微分圆，投影前后保持微分圆形的形式性； 投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数。 长度比m就是投影面上一段无限小的为分线段ds，与椭球面上相应的微分线段ds二者之比，也

就是m= ds / dS

正形投影的两个基本要求是：①投影任一点和长度比与方向无关；②角度不变形。

77. 投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的脊背思路是什么？给出等量纬度的定义，引入等量纬度有

何作用？

答：投影长度比公式的导出为推导正形投影和高斯投影打下了基础。

基本思路：在椭球面上有无限接近的两点p1和p2，投影后为p1’和p2’，ds为大地线的微分弧长，其方位角为A ，dS的投影弧长为ds

在微分直角三角形 p1p2p3 及 p1’p2’p3’中，有： 222 dS = (MdB) + (NcosBdl)22 2ds = dx+ dy

222222

则长度比 m = (dx + dy)/((NcosB)((MdB/NcosB)+dl))

b

为了简化以后公式的推导过程，引用符号dq = MdB/NcosB,Z则q=∫0 MdB/NcosB 称为等量纬度。

因为q仅与纬度有关，因此可以把dq和dl看作是互为独立的变量的微分，这样就可以近一步简化长度比公式。

78. 写出正形投影的一般公式，为什么说凡是满足此式的函数，皆能满足正形投影的条件？（柯西黎慢条件） 答：一般公式：a = b 或 a – b =0

因为sin(△u/2)=(a-b)/(a+b),若a = b,则可知角度形变为0，因此能够满足正形投影的条件。

79. 学习了正形投影的充要条件和一般公式后，你对高斯投影的实质是怎样理解的？

答：高斯投影是正形投影，保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。由于采用了分带投影，这既限制了长度变性，有保证了在不同投影带中采用的简便公式和数表进行由于

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变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。 错误！未指定书签。

85.高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解决什么问题？

答：高斯投影正算公式是通过大地坐标（L，B）能过求出高斯平面坐标（x,y）

高斯投影反算公式是通过高斯平面坐标（x,y）能过求出大地坐标（L,B）

86.试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及全过程。

答：高斯投影必须满足以下三个条件： （1） 中央子午线投影后为直线; （2） 中央子午线投影的长度不变; （3） 投影具有正形性质，即正形投影。

由第一条件可知，由于地球是个旋转椭球体，所以中央子午线东西的两侧的投影必然对称于中央子午线。 在椭球面上有对称于中央子午线的两点P1和P2，它们的大地坐标分别是（l，B）和（-l，B）。式中l为椭球面上P点的经度与中央子午线的经度之差，P点在中央子午线之东，l为正；在西，l为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ′(x,y)和P2 ′(x,-y)。 令x，y与l，q的函数关系为

x=x(l,q),y=y(l,q) (1)

因为，高斯投影是按带投影的，所以在每带里经差l是不大的，l/q是一个微小量，所以将（1）式中的函数展开为经差l的幂级函数，如下：

24 x?m0?m2l?m4l?…

(2)

y?m1?m3l3?m5l5?…

式中m0、m1，……是待定系数，它们都是纬度B的函数。 ∵

?y?x?x?y??? ,?l?q?l?q∴ 对（2）式求偏导，带入上式。得：

m1?3m3l2?5m5l4?…=

dm0dm22dm44?l?l?… dqdqdqdm1dm3l?l?… dqdq(3)

2m2l?4m4l3?…=?为使上面两式相等，其必要而充分条件是l的同次幂的系数相等。故有：

m1?dm0 dq1dm1 2dq(4)

m2??m3?1dm2

3dq位于子午线上的点，投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长，即在第（1）式中令l=0时， x=m0=X (5)

30

其中，X是自赤道量起的子午线弧长。 ∵ 子午线弧长微分公式

dXdBNcosBdB?M和dq?M ∴

dm0dmdq=0dB,dBdq=dXNcosBdB?M=M?NcosBM=NcosB (6) ∴ m1?NcosB?cVcosB (7) 对（7）式求偏导，得：

dm1dq?dmdB?dBdq?d?c?dBdB??VcosB??dq =????cdVc?dBV2dBcosB?VsinB??dq 又∵

dV??1V?2dBt c ∴

dm1????c??1?2t??cosB?c?vcosBdq?V2??V?VsinB??c V3 =??c?V3sinB??2?V2???2?VcosB

=?cVsinBcosB 代入（4）式，得 mN2?2sinBcosB (8)

依次求导，并依次代入（4）式右可得m3,m4,…各值：

mN3?cos3B?1?t2??2b? mN4?24sinBcos3B?5?t2?9?2? (9)

mN5?cos5B?5?18t2?t4120?

…

将（9）式代入（2）式，并略去?2l5及l6以上各项，最后得到高斯投影坐标正算公式如下：x?X?N2???2sinBcosBl??2?N24???4sinBcos3B?5?t2?9?2?l??4 (10)

y?NN22N?cosBl???6???cosB?1?t???l??3?120???cos5B?5?18t2?t4?l??5??335

31

当l<3.5时，公式换算的精度为?0.1m。欲要精确至0.001m的坐标公式，可将（10）式继续扩充，得到如下公式：

?x?X?NN23224????sinBcosBl?sinBcosB5?t?9?l?242???24?????N5246??sinBcosB61?58t?tl720???6??

(11)

NNN223??cosBl???cosB1?t??l?cos5B5?18t2?t4l??5?335???6???120??? Ncos5B5?18t2?t4?14?2?58?2t2l??55120???y???????

87.试述高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲（凹向中央子午线），平行圈投影像向两极弯曲（凸

向赤道）。 （随着B或L的变化,X及Y的变化规律）

答：假设在椭球面某一带内有一要化算到高斯平面上的三角网P,K,T,M,Q等，其中P点为起始点，其中大地坐标B,l,而l=L-L0 ，L及L0 为P点及轴子午线的大地经度；起始边PK=S；中央子午线ON，赤道OE，起始

0

边的大地方位角Apk ；PC为垂直于中央子午线的大地线，C点大地坐标为B0 , l=0 ;PP1 为过P点平

0

行圈，P1点的大地坐标B，l=0;X为赤道至纬度的平行圈子午弧长。 在高斯投影面上，中央子午线和赤道被描写为直线ON?及OE?。其他的子午线和平行圈，比如过P点的子

?午线和平行圈均变为曲线，如P?N?和P?P1，点P的投影点P的直角坐标为x,y,椭球面三角形投影后变为边

长si> Si曲线三角形，且这些曲线的凹向纵总坐标 轴；由于是等角投影，所以大地方位角投影后Apk没有变

?化

88.某点的平面直角坐标x,y是否等于椭球面上该点至赤道和中央子午线的距离？为什么？ (可分自然坐标和统一坐标回答)

答：是，在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，

一种以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。 89． 什么是子午线收敛角?试用图表示平面表示午线收敛角γ之下列特性:

设P＇点表示为椭球面P点,P＇N＇为过P点的子午线PN,P＇Q ＇为平行圈PQ在高斯面上的描写.所谓点P＇点子午线收敛角就是P＇N＇在P＇上的切线P＇n＇与坐标北P＇t＇之间的夹角,用γ表示. (1)点在中央子午线收敛角以东时, γ为正,反之为负;

由图知,当点在中央子午线收敛角以东时, γ为正,反之为负 (2)点与中央子午线的经差愈大, γ值越大;

因图可以看出,经差越大的时候,它的弦度越大,曲率越大,所以之间的夹角越大 (3)点所处的纬度愈高, γ值越大;

点所处的纬度越高,上面相对于赤道处的曲率更大一些,所以偏角也就越大 (4)写出大地方位角和坐标方位角的关系式.

设坐标方位角为α, 平面表示午线收敛角γ和方向改化δ,A为大地方位角,可知大地方位角和坐标方位角的转化公式为α=A-γ+δ 90.高斯投影既然是正形投影,为什么还要引进方向改正?(与点位有关)

因为高斯投影虽然是正形投影,但是在偏离中央子午线收敛角越远的时候,它的投影变形就会越大,所以要引进方向改正.

32

91.试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网应使用不同的方向改正计算公式.

假设地球为一圆球,在球面上在轴子午线之东有一条大地线AB时,它在投影面上投影为曲线ab.过A,B两面三刀点,在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交,其交点分别为D,E,它们在投影面上的投影分别为ad,be.由于是把地球近似看成球,故ad,be都有是垂直于x轴的直线.在a,b点上的方向改化分别为δab,δba.当大地线长度不大于10㎞时,y坐标不大于100㎞时,之差不大于0.05″,因而可近似的认为δab=δba.在球面上四边形abed的内角之和等于360°+δab+δba.由于是等角投影,所以之两个四边形内角之和应该相等,即360°+ε=360°+δab+δba

因此得ε=δab+δba=2δab=2δba

由此有δab=δba=1/2ε,又因为在球面上,球面角超有公式ε″=(P/R2)ρ″式中的P为球面图形面积,在此处为ABED的面积,其计算公式为P=DE(AD+BE)/2,DE的弧长为DE=Xd-Xe=Xa-Xb,当边长不大,横坐标Y之值较小时,可近似认为弧长AD≈Ya,弧长BE≈Yb.双由于球面角超总为正值,于是可以把球面角超公式写为ε″=(P/R2)︳（Xa- Yb）（Ya+ Yb）/2︳所以方向改正的计算公式为δab=δba=ρ″/2R2︳（Xa- Yb）Ym︳式中Ym=（Ya+ Yb）/2

所以方向改正公式应是

δab=ρ″/2R2 Ym(Xa-Xb) δba=-ρ″/2R2 Ym(Xa-Xb)

因为各点的精度要求不一样,各个三角网的要求都不一样,所以对于各个的精度就不一样. 92、怎样检验方向改正数计算的正确性?其实质是什么? (△a+△b+△c=-ε)

因为椭球面三角形内角之和为180°+ε,正形投影到平面后由曲线组成的该三角形内角之各当然是180°+ε.方向改正是将平面上的曲线三角形的边改直线,则平面角为a=Nab-Nac=Nab＇+δab-(Nac＇+δac)= Nab＇- Nac＇+(δab-δac) 式中的Nab＇,Nac＇及Nab,Nac分别为椭球面及平面上的方向观测值,若Nab＇- Nac＇=A, δab-δac=△a为角度改正数,则有a=A+△a,b=B+△b,c=C+△c,将上面的两式相加得a+b+c=A+B+C+(△a+△b+△c)又因为a+b+c=180°, A+B+C=180°+ε,所以△a+△b+△c=-ε由此可知,一个三角形的三个内角的角度改正值之和应等于该三角形的球面角超的负值.此式可用来检核方向改正计算的正确性.其不符值,二等不得

大于±0.02″,三等以下不得大于±0.2″.其实质是根据三角形与球面三角形之间差一个球面角超. 93、要将椭球面的三角关系归算到平面上，包括坐标，曲率改正，距离改正和子午线收敛角等计算。最后控制

网跨越两个相邻的投影带时进行平面坐标的邻带转换。如图-控制测量下册—图8-5(自己扫描) 94、已知距离改化计算公式为：

2yms D?s?22R-7

若要求改正数的精度为10，问坐标的精度为多少（已知R=6370km，ym≈300km）？ (求偏导计算可) 95、绘图说明平面子午线收敛角、方向改化和距离改化的几何意义。

答(1)p’子午收敛角就是p’N’在p’上的切线p’n’与坐标北p’t之间的夹角，用r来表示。在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正行性质，因此它们的描写线p’N’及p’Q’也必正交，由图可见，

平面子午收敛角也就是等于p’Q’在p’点上的切线p’q’同平面坐标系横轴y的倾角。

(2)方向改正的数值指的是大地线投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。

33

(3)设椭球体上有两点p1p2及其大地线S，在高斯投影面上的投影为p1’,p2’及s. S是一条曲线，而连接p1’p2’两点的直线为D，S化至D所加的改正称为距离改正△S

96、导出三种纬度φ、u与B的关系。 ( B>u> φ )

答：B与u之间的关系： ∵ x?acosu， y?bsinu

x?∴

aacosB， y?1?e2sin2B WW??1?e2sinu?sinB

W1cosBWsinB?Vsinucosu?cosB?Wcosutanu?1?e2tanBu与?之间的关系： ∵ tan??

yy2 ?1?etanu xx∴ tan??1?e2tanu B与?之间的关系： ∵ tanu?∴ tan??1?e汇总可得：

1?e2tanB tan??1?e2tanu

2??tanB

tanB?1?e?2tanu?1?e?2tan?tanu?1?e2tanB?1?e2tan? tan??1?e2tanB?1?e2tanu????97、估算（用最简公式和两位有效数字）高斯投影六度带边缘一条边长50KM的最大长度变形（m-1），己知ym≈

34

330km。 (代入公式近似计算) 答：r?x?2?y?2

x??a?,y??b?,??cos?,??sin?

m?r?a2cos2??b2sin2? y2（根据公式（15-124）） ??m?1?22Rm其中?为所研究线段的方位角，a，b是主方向上的长度比。Rm是按大地线始末两端点的平均纬度计算（查取）的椭球的平均曲率半径。

0

98、在高斯投影中，为什么要分带？我国规定小于一万分之一的测图采用6投影带，一万分之一或大于一万分

0

之一的测图采用3投影带，其根据何在？

00

答：限制长度变形。因为3带范围内的最大长度变形相当于6带范围内的最大长度变形的1/4。

99、如果不论测区的具体位置如何，仅为了限制投影变形，统统采用3°带投影优于6°带投影，你认为这个结论正确吗？为什么？(测区小时相近)

答：不正确。虽然3°带范围内的最大长度变形相当于6°带范围内的最大长度变形的1/4，在大比例尺测图和工程测量都采用3°带投影，在特殊情况下，工程测量控制网可以采用1.5 °带和任意带，但最后也要为测量成果的通用，需要同国家6 °或3 °带相联系。还有是3°带投影分带将变得更多。总之，应该视具体情况而定。 100、高斯投影的邻带坐标换算的必要性如何？(三条)，高斯投影的换带计算共有几种方法？有什么特点？（间接与直接方法）简述高斯投影的邻带坐标换算的间接方法的思路。

必要性：高斯投影虽然保证了角度没有变形，可是长度变形较严重。为了限制高斯投影的长度变形，必须依中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的狭长带内分别进行。但这又使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。于是，因分带的结果产生了新的矛盾，即在生产建设中提出了各相邻带的相互联系问题。而这个问题就必须是有“邻带换算”来实现的。

高斯投影坐标邻带换算的方法有很多种，最常用的是应用高斯投影正、反算公式进行邻带换算的方法，它具有精度高、通用和便于计算等优点。

利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。其解法是：

1Ⅰ、利用高斯投影坐标反算公式，根据?x,y?1换算成椭球面大地坐标?B,l1?进而得到L?L0?l1。

Ⅱ、再由大地坐标?B,l1?，利用高斯投影坐标正算公式，根据?B,l1?计算该点在Ⅱ带的平面直角坐标?x,y?1，

11但在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线的经度L0计算P点在第Ⅱ带的经度l1?L?L0。为了检核计算

的正确性，每步都需要往返计算。

101、论述待定系数法高斯投影坐标正算公式的推导全过程。

在椭球面上有对称于中央子午线的两点P1和P2，它们的大地坐标分别是（l，B）和（-l，B）。式中l为椭球面上P点的经度与中央子午线的经度之差，P点在中央子午线之东，l为正；在西，l为负，则投影后的平面坐标一定为P1?x,y?和P2?x,?y?。

令x，y与l，q的函数关系为 x?x?l,q?,y?y?l,q? (1)

因为，高斯投影是按带投影的，所以在每带里经差l是不大的，l/q是一个微小量，所以将（1）式中的函数展开为经差l的幂级函数，如下：

35

??24 x?m0?m2l?m4l?…

(2)

y?m1?m3l3?m5l5?…

式中m0,m1,?是待定系数，它们都是纬度B的函数。 ∵

?y?x?x?y??? ,?l?q?l?q∴ 对（2）式求偏导，带入上式。得：

m1?3m3l2?5m5l4?…=

dm0dm22dm44?l?l?… dqdqdqdm1dm3l?l?… dqdq(3)

2m2l?4m4l3?…=?为使上面两式相等，其必要而充分条件是l的同次幂的系数相等。故有：

m1?dm0 dq1dm1 2dq(4)

m2??m3?1dm2

3dq位于子午线上的点，投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长，即在第（1）式中令l=0时， x=m0=X (5) 其中，X是自赤道量起的子午线弧长。 ∵ 子午线弧长微分公式

dBNcosBdX? ?M和dqMdB∴

dm0dm0dBdXNcosBNcosB=,==M?=NcosB (6) ?dqdBdqdBMM∴ m1?NcosB?ccosB (7) Vdm1dmdBd?c?dB??? ?cosB?dqdBdqdB?Vdq?对（7）式求偏导，得：

=??c?cdV?dBcosB?sinB ?2V?VdB?dq 36

又∵

dV1???2t dBV ∴

dm1?c???2dq?V?c?12???tcosB?sinB???V?V??ccosBv cV3 =??csinB?2?V23?V????V?2cosB

csinBcosB VN代入（4）式，得 m2?sinBcosB (8)

2 =?依次求导，并依次代入（4）式右可得m3,m4,…各值：

m3?m4?Ncos3B1?t2??2 b??NsinBcos3B5?t2?9?2 24Nm5?cos5B5?18t2?t4

120??(9)

??…

6将（9）式代入（2）式，并略去?l及l以上各项，最后得到高斯投影坐标正算公式如下：

25x?X?NN2??sinBcosBl?sinBcos3B5?t2?9?2l??4 242???24?????(10)

y?NNN2235245????cosBl???cosB1?t??l?cosB5?18t?tl 335???????6?120?????当l<3.5时，公式换算的精度为?0.1m。欲要精确至0.001m的坐标公式，可将（10）式继续扩充，得到如下公式：

?x?X?NN2??sinBcosBl?sinBcos3B5?t2?9?2l??4?242???24?????NsinBcos5B61?58t2?t4l??66720?????

(11)

NNN2235245????cosBl???cosB1?t??l?cosB5?18t?tl?335???????6?120? N5242225??cosB5?18t?t?14??58?tl120???5y???????102、论述待定系数法高斯投影坐标反算公式的推导全过程。

因为x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴，所以得知y值比起椭球半径是一个相对较小的数值，因而可以将大地坐标B及l展开成有的幂级数，又由于对称投影，在此幂级数中，大地纬度B必是y的偶函数，大

37

地经度L必是y的奇函数，因此可以写成下式：

B?n0?n2y2?n4y4?… L?n1y?n3y3?n5y5?…

（1）

式中n0,n1,n2,…是待定系数，它们都是纵坐标x的函数。 由正形投影的条件可知，反算必满足柯西-黎曼条件，即（2）式：

?q?l?x??y （2）

?l?x???q?y ∵ dq?MdBNcosB

∴ 上式可改写为：

?B?x?NcosB?lM?y （3）

?BNcosB?y??dlM?x 将（1）式分别对x和y 求偏导数，代入（3）式，得：

dn0?dn22dn44Ndxy?dxy?…=cosBM?n1?3n3y2?5n4dx5y??? （4）

2ndn12?4n4y3????NcosB??dxy?dn3dxy3?dn5?M?dxy5???? 上式相等的必要充分条件是同次幂y前的系数相等，从而得待定系数等式：

ndn01Ncos1?MNcosBdx, nBdn12??2Mdx

（5）nMdn23NcosBdx, nNcosBdn33?4??4Mdx

… …

由（5）式分析可得：确定出导数dn0dx是解决问题的关键。而必须求出n0。 ∵ x轴上的长度投影保持不变

∴ 当y=0时，x=X，此时对应的F点称为底点，对应的纬度称为底点纬度。用Bf表示。

且有 B?n0?Bf （6）

38

∴（5）式中所有系数可以看成是底点纬度Bf的函数。因此，用X代替x，则个阶段导数值应冠以字f，以标明是用底点纬度Bf计算的导数值。

dn0dBf?∴ （7） dxdX∵ dX?MfdBf （8） ∴

dBf1dX?M f又∵

df?Bf?df?Bf?dX?dB?dBffdX nMfdn0MfdBf1?∴

NcosB???ffdXNfcosBfdX ?MfN?11fcosBfM?fNfcosBf同理可得：

ntf2??2MfN

fnf?3t24?t24Mf??2f?9?22ftf?

fN3?5fn6??1720N5?61?90t24f?45tf? fcosBfn3??16N3B?1?2t2f??2f? fcosfn15?120N5?5?28t2f?24t4222f?6?f?8?ftf?fcosBf将（12）代入（1），整理得：

B?Btff?2M?5?3t2??224ff?9?f?y?fNy2?tffcosBf24MfN3ft

f720M5?61?90t2?45t46ff?yfNf （9） （10）

（11）

（12）

（13）

39

l?11223y?1?2t??y?ff3NfcosBf6NfcosBf??142255?28t2?2f?24tf?6?f?8ftfy5120NfcosBf??

（上式中B和l的单位是弧度。）

当l?3.5时，上式换算精度达0.0001。欲使换算精度精确至0.01，可对上式简化成：

?nnB?Bf?tf2MfNfy?2t3f24MfN3f?5?3t2f24 ??2?9?yff?（14） l?111223245 y?1?2t??y?5?28t?24tyffff35NfcosBf6NfcosBf120NfcosBf????

103、利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质是什么？已知某点在6°带内的坐标为x1=1944359.608m、y1=20740455.456m，求该点在3°带内第40带的坐标x2、y2。 解:

1.利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质是 2.高斯投影反算公式

B = Bf - ［1 - (b4 - 0.147Z) Z］Z222b??? 2l= ［1 - (b3 - b5Z2)Z2］Z???

式中

β= x ×???÷6367558.4969

Bf=β+｛50221746+［293622+(2350+ 22cos2?)cos2?］cos2?｝10?10cosβsinβ??? Nf= 6399698.902 -［21562.267 -(108.973 - 0.612 cos2Bf)cos2Bf］cos2Bf

Z = y ×Nf÷sinBf

b2= (0.5 + 0.00336975cos2Bf)sinBf cosBf

b3 = 0.333333 - (0.1666667 - 0.001123cos2Bf)cos2Bf

b4= 0.25 + (0.161612 - 0.005617cos2Bf)cos2Bf b5 = 0.2 - 0.16667 - 0.00878cos2Bf)cos2Bf

经计算得:

Bf=17°25′5.5242″

40

Nf=6380158.61695365

Z = 0.0394992319686049

b2=0.143685005342546 b3=0.182531525525275

b4=0.392475011516073 b5=0.0555583403206617

B =17°24′19.3129″ l=2°15′44.9900″

L=L0+l=6°×20－3+2°15′44.9900″=119°15′44.9900″ 高斯投影正算公式

x = 6367452.1328×B\÷ ???- ｛a20 - ［0.5 + （a4 + a6l)l2］l2 N｝cosBSinB y = ［1 + (a3 + a225l)l］l N cosB

l=(L－L0)\÷???

N = 6399596.652 - (21565.045 - (108.996 - 0.603cos2B)cos2B)cos2B

a20 = 32144.5189 - (135.3646 - (0.7034 - 0.0041cosB)cos2B)cos2B

a4= (0.25 + 0.00253cos2B)cos2B - 0.04167 a26 = (0.167cosB - 0.083)cos2B

a3 = (0.333333 + 0.001123cos2B)cos2B- 0.1666667 a5= 0.00878 - (0.1702 - 0.20382cos2B)cos2B

经计算有:

l= －0.012871839623785 N = 6380051.12995275

a0 = 32017.767930773

a4= 0.188049493826939 a6 = 0.0611383212728567 a3 = 0.137771072787414

41

a5= 0.01665346

x = 1925352.89587631 y = -78365.8494796141

104、已知某点的大地坐标为B=32°23′46.6531″，L=112°44′12.2122″，求其在六度带内的高斯平面直角坐标以及该点的子午线收敛角(要求反算检核)。 解: 1

x = 6367452.1328×B\÷ ???- ｛a2220 - ［0.5 + （a4 + a6l)l］l N｝cosBSinB y = ［1 + (a23 + a5l)l2］l N cosB

l=(L－L0)\÷???

N = 6399596.652 - (21565.045 - (108.996 - 0.603cos2B)cos2B)cos2B

a20 = 32144.5189 - (135.3646 - (0.7034 - 0.0041cosB)cos2B)cos2B

a4= (0.25 + 0.00253cos2B)cos2B - 0.04167 a26 = (0.167cosB - 0.083)cos2B

a3 = (0.333333 + 0.001123cos2B)cos2B- 0.1666667 a5= 0.00878 - (0.1702 - 0.20382cos2B)cos2B

经计算有:

l= 0.0303115516447289 N = 6384381.29117785

a0 = 32044.2796106057

a4= 0.137847954226949 a6 = 0.0244893440483692 a3 = 0.0715532784281333 a5= -0.01196553

x = 3587184.86842943 y = 163412.216207756 2.

由反算公式:

B = Bf - ［1 - (b4 - 0.147Z2) Z2］Z2b2???

42

l= ［1 - (b3 - b5Z2)Z2］Z???

式中

β= x ×???÷6367558.4969

Bf=β+｛50221746+［293622+(2350+ 22cos2?)cos2?］cos2?｝10?10cosβsinβ??? Nf= 6399698.902 -［21562.267 -(108.973 - 0.612 cos2Bf)cos2Bf］cos2Bf

Z = y ×Nf÷sinBf

b2= (0.5 + 0.00336975cos2Bf)sinBf cosBf

b3 = 0.333333 - (0.1666667 - 0.001123cos2Bf)cos2Bf

b4= 0.25 + (0.161612 - 0.005617cos2Bf)cos2Bf b5 = 0.2 - 0.16667 - 0.00878cos2Bf)cos2Bf

经反算有

B=32°12′59.0879″，L=112°43′59.8682″所在经度相近.可认为正确. 3.

2222222γ=｛1+［（0.33333+0.00674cosB）+（0.2cosBcosB－0.0067）l］lcosB｝ lcosB

式中l=1.73651138856322

经过计算有γ=4.07645384698584

105、当国家统一坐标系统不适合某城市时，选择局部坐标系统通常有哪些方法？各适合何种地理情况？（三种） 106、何谓建立大地坐标系？椭球定位的含义是什么？试从椭球的多点定位法和一点定位法的区别说明多点定位的优点。

107、椭球定位分几类？什么是参数坐标系？什么是地心坐标系？其区别表现在什么方面？ 椭球定位分两类：局部定位和地心定位。

以参考椭球为基准的坐标系，叫做参心坐标系；以总地球椭球为基准的坐标系，叫做地心坐标系。

108、什么叫大地起算点和大地起算数据？有何意义？试说明参考椭球定位的原则。

大地原点即为大地起算点。

参考椭球的定位和定向，一般是依据大地原点的天文大地观测和高程测量结果，通过确定

一定的参考椭球和一定的大地原点上的大地起算数据，确定了一定的坐标系。通常就是用参考椭球参数和大地原点上的起算数据的确立作为一个参心大地坐标系建成的标志的。

109、何谓国家统一坐标系统？概述1954年北京坐标系和1980年国家大地坐标系的建立过程，试从椭球元素、定位方法、对应的空间大地直角坐标系原点和作用等方面进行比较。 1954 1980

椭球元素 克拉索夫斯基椭球 以我国范围内高程异常值平方和等于最小为条件求解 定位方法 一点定位 一点定位 坐标原点 普尔科沃原点 西安原点 作用

43

110、当城市控制网选择了局部坐标系统时，应如何与国家统一坐标系建立联系？为什么？

111、不同空间直角坐标系间的转换需要几个参数？有几个转换公式？坐标转换的精度与哪些因素有关？ 答 七个参数

?X2??? Y2=(1+m)????Z2???z??y??1???z1??x?????y??x1???X1???X??Y1?+??Y? ???????Z???Z1???

由于公共点的坐标存在误差，求得转换参数将受其影响

112、当国家统一坐标不适合某城市时，选择局部坐标系统通常有那些方法？各适合何种地理情况？

113设测区呈东西宽约8km、南北长约14km的长方形，测区内有符合现行规范并经过平差的国家大地点，其中二等点A位于测区中部。假定有下列情况，试论证如何选择坐标系统：

0

(1)A点坐标为x?3788246.173m、y?19318082.656m，测区平均高程为500m，概略纬度为34； (2)A点坐标为x?3787552.086m、y?36499742.540m，测区平均高程为1000m；

(3)A点坐标为x?3789155.630m、y?36522488.497m，测区平均高程为110m。 ⑴

S = 8000m y= 2RmHm=△S1=-

2*6370*0.5=80k m

Hm500*8000*s=-=-0.628m

Rm63700001Ym*Ym80*80*8000△S2=*s==0.628m

2Rm*Rm2*6370*6370此时 △S1 +△S2=0 所以采用的是任意带高斯正形投影平面直角坐标系 ⑵

Ym*Ym8.257*8.257==5km 2R2*6370Hm5*8000 △S1=-*s= -=-0.006m

6370Rm1Ym*Ym8.257*8.257*8000△S2=*s==0.006m

2Rm*Rm2*6370*6370 △H=

此时 △S1 +△S2=0 所以采用的是抵偿投影面高斯正形投影平面直角坐标系

114．简述城市和工程测量中几种可能采用的直角坐标系。各有何特点？

工程测量中集中可能采用的直角坐标系: ①．国家3°带高斯正形投影平面直角坐标系 特点：在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，无需考虑投影变形问题，直接采用国家统一的3°带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系，使两者相一致。 ②．抵偿投影面的3°带高斯正形投影平面直角坐标系

在这种坐标系中，仍采用国家3°带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭圆面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面，在这个高程参考面上长度变形为零。 ③．任意带高斯正形投影平面直角坐标系

在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家3°带的划分方

法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。 ④．具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系

44

在这种坐标系中，往往是指投影的中央子午线选在测区的中央，地面观测值归算到测区平均高程面上，按高

斯正形投影计算直角坐标，这种坐标系更能有效的实现两种长度变形改正的补偿。 ⑤．假定平面直角坐标系

当测区面积小于100K㎡时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面建筑独立的平面直角

坐标系，这时，起算点坐标及起算方位角最好能与国家网联系，如果联系有困难，可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定，这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用。

115.城市或工程建设在什么情况下需采用独立坐标系统？建立独立坐标系统有哪几种方法？它们的投影带和投

影面与国家统一坐标系统有那些区别？ 当边长的两次归算投影改正不能满足规定的要求时，为保证工程测量结果的直接利用和计算的方便，可以采用任意带的独立高斯投影平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可以自己选定。 可以通过以下三种方法来实现：

（a） 通过改变Hm从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形，这种方法通常称为抵偿投影面的高斯

正形投影。

（b） 通过改变Ym，从而对中央子午线作适当移动，来抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形，

这就是通常所说的任意带高斯正形投影。

（c） 通过既改变Hm（选择高程参考面）又改变Ym（移动中央子午线）来共同抵偿两项归算改正变形，这就

是所谓的具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。

区别：国家统一的坐标系统是3°带高斯正形投影平面直角坐标系。 ①． 抵偿投影面的高斯正形投影平面直角坐标系，它投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长

度变形而选择的高程参考面。

②． 任意带高斯正形投影平面直角坐标系，它投影带的中央子午线不按国家3°带的划分方法，而是依据补

偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。 ③． 具有高程抵偿面的任意点高斯正形投影平面直角坐标系，它通过的选择高程参考面和移动中央子午线共

同抵偿两项归算改正变形。

116．举例说明一维坐标系间的变换和二维坐标系间的变换的应用。 在工程测量应用GPS时，往往是将具有局部平面直角坐标的二维控制点同GPS控制点重合，为将三维GPS网点转到局部平面参考系中，这时对GPS网点坐标尚需作相应的预先变换。首先将GPS网点（X，Y，Z）GPS近似平移到局部坐标系，得到（x,y,h）GPS,其具体做法是利用前述的“大地坐标系与空间直角坐标系间的相互关系”相应公式计算（B，L），再利用“高斯平面直角坐标系”中的正算公式求出（x,y）GPS,最后利用它及局部平面坐标系点坐标（x,y）LS,按本节所述公式进行而维平面坐标的转换。

假如在GPS网中，选择其中的3个点联测了高程，即这3个点既有GPS测量得到的大地高Hi，同时也有水准测量取得的正高（i=1,2,3）,大地水准面差距Ni可以利用大地水准面模型近似计算出，因此也可以利用地面测量手段取得大地高Hi的近似值（Hi）。它们之间存在差异的主要原因是GPS测量中系统误差及大地水准面模型化误差的共同影响，也就是它们是点的位置函数，故可写成个下面的变换公式 Ni = N +aixi +a2yi （10-61）

式中，N是大地水准距离，也是沿垂直轴的平移参数，a1和a2是相对于参考椭球面东西和南北方向的二个倾斜（旋转）参数，Xi,Yi为公共点的平面坐标（局部系统内）值。只要由个分布良好，既有水准高程又有GPS高程的公共点，即可求出这3个转换参数，进而按（10-61）式估算出该范围内其他任何点的大地水准面距离，实现一维高程系间的变换。

117、布设全国统一的平面控制网及高程控制网，分别应遵守哪些原则？ 答：平面控制网

1、 分级布设、逐级控制。 2、 有足够的精度。 3、 有一定的密度。

4、 有统一的技术规格和要求。

45

高程控制网

1、 从高到低、逐级控制 2、 水准点满足一定的密度 3、 水准测量达到足够的精度 4、 一等水准网应定期复测

118、概述我国国家各等三角测量的布设方案和历史沿革，及其在精度要求上有哪些主要规定？

答：1、一等三角锁一般沿经纬线方向构成纵横交叉网状，两相邻交叉点之间的三角琐称为琐段，纵横琐段构成琐环。一等三角琐一般采用单三角琐，也可组成大地四边形和中点多边形。按三角形闭合差计算的测角中误差应小于±7″，三角形的任一内角不得小于40°，大地四边形或中点多边形的传距应大于30°。为了控制琐段中边长推算物产的积累，在一等琐的交叉处测定起始边长，要求起始边测定的相对中误差优于1：35万。

2、我国二等三角网的布设有两种形式：1958年以前采用两级布设二等三角网的方法，即在一等琐环内首先布设纵横交叉的二等基本琐，将一等琐分为四个部分然后再在每个部分中布设二等补充网。在二等琐系交叉处加测起始边长和起始方位角，其中二等基本琐的边长为15～20km，按三角形闭合差计算的测角中误差应小于±1.2″，二等补充网的平均边长为13km，测叫中误差应小于±2.5″；1958年以后改用二等全面网，即在一等琐环内直接布满二等网。二等网的平均边长为13km左右，测角中误差应小于±1.0″。 3、三、四等三角点的布设尽可能采用插网的方法，也可采用插点法布设。 1）、插网法：就是在高等级三角网内，以高级点为基础，布设次一等级的连续三角网，连续三角网的边长根据测图比例尺对密度的要求而定，可按两种形式布设，一种是在高级网中插入三、四等点，相邻三、四等点与高级点之间的联结起来构成连续的三角网；另一种是在高等点间插入很多低等点，用短边三角网符合在高等级点上，不要求高等级点与低等级点构成三角形。三等网的平均边长为8km，四等网边长在2～6km范围内变通，测角中误差三等为±1.8″，四等为±2.5″。2）、插点法：即在高等级三角网的一个或两个三角形内插入一个或两个低等级的新点。

119、技术设计的意义、内容和方法是什么？技术设计应该遵循哪些原则？

答：意义，控制测量的技术设计是关系全局的重要环节，技术设计书是使控制网的布设既满足质量要求又做到经济合理的重要保障，是指导生产的重要技术文件。

内容：1.收集和分析质料；2.网的图上设计；3.编写技术设计书。

方法：设计前应充分了解测区情况，收集有关质料，然后在1：50万或1：100万的地形图上设计一、二等水准路线。技术设计时，一等水准路线应沿路面坡度平缓、交通不太繁忙的家童路线布设，二等水准路线尽量沿公路、大河及河流布设，沿线交通比较方便。水准路线应避开土质松软的地段和磁场甚强的地段，并应尽量避免通过大的河流、湖泊、沼泽与峡谷等障碍物。

120、怎样根据测图比例尺的大小确定平面控制点的密度？怎样根据地形测图和城市建设需要来确定它们对平面控制点和高程控制点的精度要求？ 答： 测图比例尺 平均每副图平均每副图要面积（K㎡） 求的三角点数 1：5万 1：2.5万 1：1万

在测图中，要求首级图根点相对于起算三角点的点位误差，在图上不超过±0.1mm，相对于地面点的点位误差则不超过±0.1Nmm (N为测图比例尺分母)。相邻国家的点位误差小于1/3×0.1Nmm。 121、图上设计对点位的基本要求有哪些？图上选点应提供哪些资料？

答：图上设计对点位的基本要求有：技术方面；控制点所构成的边长、角度、图形结构应完全符合规范要求。点位选在视野开阔、展望良好的地方，以便于扩展和加密点等点。为保证观测目标的清晰和减弱水平折光（旁折光）的影响，视线应尽量避免沿斜坡或大河、大湖的岸边通过，并超越（或旁离）障碍物一定距离。点的位置应

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每点控制的三角网的平相应的三面积（K㎡） 均边长（km） 角网等级 150 50 20 13 8 2～6 二等 三等 四等 350～500 100～125 15～20 3 2～3 1 选在土质坚硬，易排水的高低，以便于点位的长期保存。经济指标方面；充分利用旧点，以便节省造标埋石费用，也不造成点位的混乱。充分利用制高点和高建筑物等有利地形地物，以降低建标费用。安全方面； 点位应选在便于造标和观测的地方。点位离公路、铁路和其他建筑物以及高压线等应有一定距离。

图上选点应提供的资料有：选点图；点之记；选点工作技术总结。包括测区概况，旧点利用情况，选点的数量和质量统计，需建规标类型及数量统计，对造标埋石和观测工作的建议等内容。 122、何谓三角网的集合结构强度，它与三角网的图形结构形式有何关系？ 答：

123、三角锁精度估算时，其最弱边边长的权与什么有关？方位角的权与什么有关？ 最弱边边长的权与角度观测值A、B有关

11?s2(cot2A?cot2B)?s2(cotA?cotB)2Ps3?22s(cot2A?cot2B?cotAcotB)3

方位角的权与转折角有关

124、三角网的精度估算有何意义？精度估算的实质是什么？精度估算的目的？

三角网的精度估算的意义：只有在精度指标满足要求的情况下，才考虑选择费用较低廉的布设方案。精度估算的实质

精度估算的目的是推求控制网中边长、方位角或点位坐标等的中误差。

125、何谓图形强度因数？何谓三角形的图形权倒数？

由：?A??B??A?B?R，其中R即为图形强度因数。（?A等于角A的正弦对数每秒表差，?B、?C类似。） 通常将P1称为三角形的权倒数，也就是以方向的权为单位权，三角形推算边（一般是指精度最差的边，即最弱

lgs22边）边长对数的权倒数称为三角形的图形权倒数。

126、单三角形、大地四边形、重点多边形的图形权倒数近似计算公式常采用什么形式？试着导出三角形的图形权倒数计算公式：

答:单三角形:

12=（?PlgD32A+?2B+?2C）

12=?R P31大地四边形:=?R

P1中点多边形: =?R

P推倒公式:

12=（?PlgD32A+?2B+?2C）

证明:S0为三角形的起算边,S为推算边,A,B,C为观测角 S=S0

sinA0,A+B+C-180=0 sinB?scosAsinAcosA= S0= S0=S*cotA ?AsinBsinBsinA47

按角度平差时,条件方程系数:aA=+1,aB=+1,aC=+1 S对角度A,B,C的偏导数:fA=

fB= -S*cotB fc=0

1[af]2A,B,C为等精度观测,中误差为m,由=[ff] - ,其中P=I

Ps[aa]11=S2(cot2A+ cot2B)-S2(cotA-cotB)2 Ps32 =S2( cot2A+ cot2B+cotAcotB)

3得:

S的中误差为:ms=?m?1m=?Ps?22s(cot2 A+ cot2 B+cotAcotB) 3边长对数中误差:dlgs=u

ds ,u=0.43429 s22s(cot2 A+ cot2 B+cotAcotB) 3ms6u106 mlgs=u10=m

s?令: ?A=

u106?cotA

?B =

u106?cotB

mlgs=m

22(?A??2B??A?B) 32令?2A+?B+?A?B=R

则mlgs=m

2R 32mlgs2221即==R=（?2PlgD33mA+?2B+?2C）

127 解释三角锁,导线网,测边网,测角网,自由网,非自由网和独立网.

答:三角锁:,根据国家平面控制网施测时的测绘技术水平,采取传统的三角网作为水平控制网的基本形式.分

为,一等三角锁, 二等三角锁,三等三角锁,四等三角锁.

导线网:导线就是由若干条直线连成的折线,导线网就是由若干条导线连成的控制网,网中的观测值是角度和边长.

边角网是指测角又测边的以三角形为基本图形的网,如果只测边不测角即为测边网,同理,只测角不测边的即是测角网.

独立网:当三角网中只有一套必要的起算数据时,这种网称为独立网.

128 试论证三角网中的各三角形之边长以大约相等最为有利的原因.

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1u106答: =m

plgs?2222s(cot2 A+ cot2 B+cotAcotB), 3令Q=cotA?cotB?cotAcotB 欲使

1最小,即mlgs最小,应使Q最小,令A=C,则B=1800-(A+C)= 1800-2A plgs01?cot2AcotB=cot(180-2A)=-cot2A=

2cotA1?cot2A1?cot2A代入Q,得Q=cotA++cotA()

2cotA2cotA2 =

3122cotA+tanA 44对A取一阶导数,并令其为零

dQ2122=-cotAcscA+tanAsecA=0

2dA3tanA=3

A=C=5246 , B=180-2A=7448

以S0为底边,角度A=C=5246的等腰三角形,对推算边长的精度最为有利.

129 在求算中点多边形网中任意边图形的权倒数时,常常有两条单三角形推算路线,对出现在两条路线中重复的

三角形,求算时应如何处理?

答:在两条单三角形推算路线中,出现在两条路线中重复的三角形,会造成最弱边,最弱传距边大体上在锁的中央,即S中,由两端起算边S1中S2分别推算S中边长,可以得到两个互相独立的数值S中’和S中’’,然后取其带权平均值..

S中=

0''0''00''41''''''(P*S中+P*S中_) '''P?Pm'2s中*m''2s中ms中= '2''2m中?m中2130. 设有一个支三角锁，见图2-9，起算边b的相对中误差mbb?135万，测角中误差m?=±0.7″，试求顾及起算边边长中误差后的最弱边边长对数中误差和相对中误差。

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解：mp=±0.7=r2”

”

1/plgs=4

?R/3

18由表2-5查得 1/plgs1=4/3*(2.7+5.95+5.3+27.2+2.4+9.75+3.15+0)=75.7 1/plgs2=4/3(2.7+5.95+5.3+…+3.15+3.6)=80.1 所以1/plgs1<1/plgs2 则最弱边s2 Mlgb=

mb166

*U*10=*r″*10

350000bMlgs=m2lg?r\2*1?4.65 plgs6

6

5

则其相对中误差为ms2/s=mlgs/(u*10)=4.65/(0495*10)=1/10

131. 设有三角网如图2—1、2—2，起算边B的相对中误差皆为1：150000，测角中误差为土1.8″，试估算S边的相对中误差。

图2—1

4 图2-1plgs=0.72?R∑R+

314?R

56U=r″=±18″/2=±1.27″ Mlgb=1/1500000*(u*10)=8.5 Mlg=m2lgb?r''2*6

1 plgs图2-2：设由左起算所的的s边长为s′权倒数为p′ 由右起算所的的s边长为s″权倒数为p″

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