（当且仅当
即
， 时等号成立）
∴ 的面积存在最大值，最大值为 ．
已知函数 ．
（1）试判断 的单调性；
（2）若 在区间 上有极值，求实数 的取值范围；
（3）当 时，若 有唯一的零点 ，试求 的值．（注： 为取整函数，表示不超过 的最大整数，如 ， ， ；以下数据供参考： ， ， ， ） 【答案】
解：（1） ，
①当 时， ，∴ 函数 在区间 上单调递减； ②当 时，由 ，解得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减； 当 时， ，此时函数 单调递增． … （2） ，其定义域为 ．
，…
令 ， ， ，
当 时， 恒成立，∴ 在 上为增函数， 又 ， ，
∴ 函数 在 内至少存在一个变号零点 ，且 也是 的变号零点， 此时 在区间 内有极值． …
当 时， ，即 时， 恒成立， ∴ 函数 在 单调递减，此时函数 无极值 …
综上可得： 在区间 内有极值时实数 的取值范围是 ；… （3）∵ 时，函数 的定义域为
由（2）可知： 知 时， ，∴ ． 又 在区间 上只有一个极小值点记为 ， 且 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递增， 由题意可知： 即为 ． …
试卷第17页，总21页
∴ ，∴ 消去可得： ，
即
令 ，则 在区间 上单调递增
又∵
由零点存在性定理知 ，
∴ ∴ ． … 【考点】
利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】
（1）求出 的导数，讨论当 时，当 时，由导数大于 ，可得增区间；导数小于 ，可得减区间，注意定义域；
（2）求出 的导数，令 ， ，求出导数，讨论 的符号，判断单调性，即可得到所求 的范围；
（3）由（2）可知： 知 时， ，则 ，讨论 在 的单调性，再由零点的定义和极值点的定义，可得 的方程，构造函数
，判断单调性，由零点存在性定理知 ， ，即可得到所求值．
【解答】
解：（1） ，
①当 时， ，∴ 函数 在区间 上单调递减； ②当 时，由 ，解得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减； 当 时， ，此时函数 单调递增． … （2） ，其定义域为 ．
，…
令 ， ， ，
当 时， 恒成立，∴ 在 上为增函数， 又 ， ，
∴ 函数 在 内至少存在一个变号零点 ，且 也是 的变号零点， 此时 在区间 内有极值． …
当 时， ，即 时， 恒成立， ∴ 函数 在 单调递减，此时函数 无极值 …
综上可得： 在区间 内有极值时实数 的取值范围是 ；… （3）∵ 时，函数 的定义域为
由（2）可知： 知 时， ，∴ ．
试卷第18页，总21页
又 在区间 上只有一个极小值点记为 ， 且 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递增， 由题意可知： 即为 ． …
∴ ，∴ 消去可得： ，
即
令 ，则 在区间 上单调递增
又∵
由零点存在性定理知 ，
∴ ∴ ． …
请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，若点 的直角坐标为 ，试求当 时， 的值． 【答案】
曲线 ，可以化为 ， ＝ ， 因此，曲线 的直角坐标方程为 ＝ 它表示以 为圆心、 为半径的圆．
当 时，直线的参数方程为
（为参数）
点 在直线上，且在圆 内，把
代入 ＝ 中得
设两个实数根为 ， ，则 ， 两点所对应的参数为 ， ，
则 ， ＝ ∴ 【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
试卷第19页，总21页
【解析】
（1）曲线 ，可以化为 ， ＝ ，可得曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）当 时，直线的参数方程为
（为参数），利用参数的几何意义求
当 时， 的值． 【解答】
曲线 ，可以化为 ， ＝ ， 因此，曲线 的直角坐标方程为 ＝
它表示以 为圆心、 为半径的圆．
当时，直线的参数方程为
（为参数）
点 在直线上，且在圆 内，把
代入 ＝ 中得
设两个实数根为 ， ，则 ， 两点所对应的参数为 ， ，
则 ， ＝ ∴ [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
已知函数 ＝ ．
（1）若 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
（2）若 ，使得 ＝ 成立，试求实数 的取值范围． 【答案】
＝ ．
∵ ，恒有 成立， ∴ ；
由题意， ，
，使得 ＝ 成立， ∴ ＝ ， ∴ ，
时， ＝ ，∴ ，不合题意，舍去； 时， ＝ ，此时 恒成立；
时， ＝ ，∴ ，不合题意，舍去； 综上所述， 的取值范围为 ． 【考点】
绝对值三角不等式
绝对值不等式的解法与证明 【解析】
试卷第20页，总21页
（1）若 ，恒有 成立，求出 的最小值，即可求实数 的取值范围； ，使得 ＝ 成立， ，再分类讨论，即可求实数 的取值范围． 【解答】
＝ ．
∵ ，恒有 成立， ∴ ；
由题意， ，
，使得 ＝ 成立， ∴ ＝ ， ∴ ，
时， ＝ ，∴ ，不合题意，舍去； 时， ＝ ，此时 恒成立；
时， ＝ ，∴ ，不合题意，舍去； 综上所述， 的取值范围为 ．
试卷第21页，总21页