单元质量测试(三)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f(x)＝1－2sin的最小正周期为( )
2π
A．2π B．π C． D．4π
2答案 A
解析 f(x)＝1－2sin＝cosx，最小正周期T＝2π，故选A．
22．已知sinθ<0，tanθ>0，则1－sinθ化简的结果为( ) A．cosθ B．－cosθ C．±cosθ D．以上都不对 答案 B
解析 由已知可判断出θ是第三象限角，所以1－sinθ＝|cosθ|＝－cosθ．故选B．
→→→
3．(2018·福建4月质检)已知向量AB＝(1，1)，AC＝(2，3)，则下列向量与BC垂直的是( )
A．a＝(3，6) B．b＝(8，－6) C．c＝(6，8) D．d＝(－6，3) 答案 D
→→→
解析 BC＝AC－AB＝(1，2)，因为(1，2)·(－6，3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故选D． 4．(2018·长沙统考)已知a，b为单位向量，且a⊥(a＋2b)，则向量a与b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C
解析 由题意，a·(a＋2b)＝a＋2a·b＝|a|＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，
2
2
2
2
22
xxb〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°．故选
C．
5．(2018·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
1
2
答案 B
解析 ∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴
2tanC3
＝3tanC，得tanC＝，C2
1－tanC3
πππ
＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．故选B． 632
→1→→6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝
3
mAB＋AC，则实数m的值为( )
→
2→11
95A． B． 111132C． D． 1111答案 B
6→→2→→6→
解析 因为N，P，B三点共线，所以AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，从而m＋＝1?m＝
1111115
．故选B． 11
7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于( )
A．2 B．3 C．2 D．3 答案 A
解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝12222
sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理，得a＝b＋4b－b，
4
∴a＝4b，∴＝2．故选A．
2
2
abab
α?π?8．(2018·江西九校联考)已知5sin2α＝6cosα，α∈?0，?，则tan＝( )
2?2?2132
A．－ B． C． D． 3353答案 B
?π?解析 由题意知10sinαcosα＝6cosα，又α∈?0，?，
2??
α42α
sin2sin1－
225134α1－cosα
∴sinα＝，cosα＝，tan＝＝＝＝＝．
552αααsinα33
cos2sincos
2225ππ
9．(2018·东北三省四市二联)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜的图象向右平移
212π
个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在0，上的最小值为( )
2
A．3113 B． C．－ D．－ 2222
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移
ππ
个单位得到函数g(x)＝sin2x－＋φ＝sin2x1212
πππ
－＋φ，此函数图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，662ππππππ2π由|φ|＜，可得φ＝－，所以f(x)＝sin2x－，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
2332333所以f(x)的最小值为sin－
π3
＝－．故选D． 32
→→
10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB→→→
＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为( )
221012A． B． C．6 D． 1537答案 A
→→→→→→→→→→→解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝→→→2→2→→→→→2→2
λAB·AC－λAB＋AC－AB·AC＝(λ－1)AB·AC－λAB＋AC＝0，整理可得(λ－22
1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝，故选A．
15
11．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<
π
的最2
π
小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝cosωx的图象，则函数
3
f(x)的图象( )
π5π
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
1212π5π
C．关于点，0对称 D．关于点，0对称
1212答案 C
2ππ
解析 由题意T＝＝π，得ω＝2，把g(x)＝cos2x的图象向右平移个单位长度得ω3
f(x)＝cos2x－＝cos2x－
π
32ππ2π7πππ＝sin－2x＋＝sin－2x＋＝sin2x－的图象，f3236612
5π3π
＝0，f＝，因此函数f(x)的图象关于点，0对称．故选C．
12212
12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD→→→
相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．22 C．5 D．2 答案 A
解析 分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2，1)，B(2，0)，
D(0，1)．
∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上， ∴可设P25cosθ，
25
sinθ．
→→
则AB＝(0，－1)，AD＝(－2，0)， →
AP＝
25
cosθ－2，
25
sinθ－1．
→→→又AP＝λAB＋μAD， ∴λ＝－
25
sinθ＋1，μ＝－
25
15
15
cosθ＋1，
∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，
1
其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3．故选A．
2
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2018·合肥质检一)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，则a