分析：根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知

∠B1AD=45°，可以求出AB1=2错误！未找到引用源。，而AB与AB1是相等的，故可求AB，那么BC和AC可求，则△ABC的周长可求． 解答：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，

则∠BAC=60°，

将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，∠B1AD=45°， 而∠AB1D=90°，故△AB1D是等腰直角三角形， 如果AD=2错误！未找到引用源。，则根据勾股定理得，

AB1=错误！未找到引用源。那么AB=AB1=错误！未找到引用源。， AC=2AB=2错误！未找到引用源。，

BC=6错误！未找到引用源。，

△ABC的周长为：AB+BC+AC=错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=3错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。．

故本题答案为：3错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。．

点评：本题主要考查旋转和直角三角形的性质，既要弄清等腰梯形、直角梯形的判定，又要

掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．

3. （2011?江苏徐州，24，8）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sin∠APC=（1）求⊙O的半径； （2）求弦AB的长．

5错误！未找到引用源。． 13

考点：切线的性质；解直角三角形。 分析：（1）由题意可推出OA⊥AP，即可推出OA的长度，即半径的长度； （2）根据题意和（1）的结论，即可推出PA=PB，∠APO=∠BPO，AC=BC=找到引用源。AB，可以推出AC的长度，即可推出AB的长度． 解答：解：（1）∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴∠OAP=90°， ∴sin∠APO=∵OP=13， ∴OA=5，

1错误！未25错误！未找到引用源。， 13即所求半径为5．

（2）Rt△OAP中，AP=12， ∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，

1错误！未找到引用源。AB，PC⊥AB 25∴sin∠APC=错误！未找到引用源。，

1360∴AC=错误！未找到引用源。，

13120∴AB=2AC=错误！未找到引用源。．

13∴AC=BC=

点评：本题主要考查切线的性质、解直角三角形，解题的关键在于切线的性质找到直角三角形，然后解直角三角形．

⌒错误！未找到引用4. （2011新疆建设兵团，13，5分）如图，∠BAC所对的弧（图中 BC源。）的度数为120°，⊙O的半径为5，

则弦BC的长为 53错误！未找到引用源。．

考点：圆周角定理；解直角三角形．

专题：探究型．

⌒错误！未找到引用源。可求出 分析：连接OB、OB，过O点作OD⊥BC于点D，由 BC

1

∠BOB＝120°，再由垂径定理可知BD＝2错误！未找到引用源。BC，根据锐角三角函数的定义可求出BD的长，进而可得出BC的长．

解答：解：连接OB、OB，过O点作，OD⊥BC于点D，

⌒＝120°∵ BC，

∴∠BOC＝120°，

∵OD⊥BC，

111

∴BD＝BC，∠BOD＝∠BOC＝×120°＝60°，

222353

在Rt△OBD中，BD＝OB?sin∠BOD＝5×2＝2， 53

∴BC＝2BD＝2×＝53．

2

故答案为：53错误！未找到引用源。．

点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义解答是解答此题的关键． 5.如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于6 3cm2． 考点：旋转的性质；解直角三角形． 专题：计算题． 分析：将△ABC绕点A逆时针旋转15°，得到∠AB′D=45°-15°=30°，利用三角函数即可求出B′D的长，然后根据直角三角形的面积公式即可求出阴影部分面积． 解答：∴B′D=AB′tan30°=6× S△AB′D= ×6×2 解：∵∠AB′D=∠B′AC′-∠DAC′=45°-15°=30°， =2 =6 ， ． 故答案为：6 ． 点评：此题考查了旋转的性质和解直角三角形的相关计算，找到图中的特殊角∠B′AD是解题的关键． 6. （2011?莱芜）如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 （36，0） ．

考点：旋转的性质；坐标与图形性质；勾股定理。 专题：规律型。

分析：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨、⑩10的直角顶点为（36，0）．

解答：解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4， ∴AB=5，

∴图③、④的直角顶点坐标为（12，0）， ∵每旋转3次为一循环，

∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0）， ∴图⑨、⑩的直角顶点为（36，0）． 故答案为：（36，0）． 点评：本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．

7. （2011福建莆田，15，4分）如图，一束光线从A（3，3）出发，经过y轴上的点C反

射后经过点B（1，0），则光线从A点到B点经过的路线长是_ ▲ ．

考点：解直角三角形的应用． 专题：计算题． 分析：延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路

径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解． 解答：解：如图所示，

延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′． 作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4． ∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．

即光线从点A到点B经过的路径长为5．

点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角形是解决本 题关键． 8.（ 2011福建龙岩，15，3分）如图，菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°，则AC= cm．