x′＝2x??7π

5．平面直角坐标系中，若点P(3，)经过伸缩变换?12y′＝y?3?系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________．

后的点为Q，则极坐标

??x′＝2x7π7π【解析】 ∵点P(3，)经过伸缩变换?后的点为Q(6，)，则极坐标系中，126

??y′＝3y

7π

极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6|sin |＝3.

6

【答案】 3

π

6．极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，则

6

(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是________； (2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；

(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))

π11π

【解析】 点A(3，)关于极轴的对称点的极坐标为(3，)；点A关于极点的对称点

66

7π5π

的极坐标为(3，)；点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为(3，)．

66

11π7π5π

【答案】 (1)(3，) (2)(3，) (3)(3，) 666

三、解答题(每小题10分，共30分)

?x′＝2x

7．已知点P的直角坐标按伸缩变换?变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π

?y′＝3y

时，求点P的极坐标．

???6＝2x，?x＝3，

【解】 设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得?解得?

???－3＝3y，?y＝－3，

∴点P的直角坐标为(3，－3)， ρ＝

－3

3＋?－3?＝23，tan θ＝，

3

2

2

∵0≤θ<2π，点P在第四象限，

11π∴θ＝，

6

11π

∴点P的极坐标为(23，)．

6

π2π3π

8．(1)已知点的极坐标分别为A(3，－)，B(2，)，C(，π)，D(－4，)，求它们的

4322

直角坐标．

5

(2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B(0，－)，C(－2，－23)，求它们的极坐标

3

(ρ≥0,0≤θ<2π)．

32323

【解】 (1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A(，－)，B(－1，3)，C(－，0)，

222D(0，－4)

yπ53π4π

(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A(23，)，B(，)，C(4，)．

x6323

π5π

9．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2，)，B(2，π)，C(2，)．

33

(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积．

π5π

【解】 (1)如图所示，由A(2，)，B(2，π)，C(2，)得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，

33

2π

∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.

3∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴AB＝BC＝CA， 故△ABC为等边三角形． (2)由上述可知，

π3

AC＝2OAsin＝2×2×＝23.

323

∴S△ABC＝×(23)2＝33(面积单位)．

4教师备选

10．某大学校园的部分平面示意图如图：

用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．

【解】 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，

ππ

由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝3003 m，又|AB|＝|BC|，

62所以|AB|＝150 m.

同理，得|OE|＝2|OG|＝3002 m，

ππ3π

所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(3003，0)，C(600，)，D(300，)，E(3002，)，

624

3

F(300，π)，G(1502，π)．

4