第34讲 等差数列及其前n项和
夯实基础 【p73】
【学习目标】
1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等． 2．掌握等差数列的判断方法． 3．掌握等差数列求和的方法． 【基础检测】
1．数列{an}是等差数列，a1＝1，a4＝8，则a5＝( )
A．16 B．－16 C．32 D.313
【解析】因为a4＝8，所以a1＋3d＝8， 又因为a＝1，所以d＝7
13，
可得a＋4d＝31
5＝a13. 【答案】D
2．已知等差数列{an}中，若a4＝15，则它的前7项和为( )
A．120 B．115 C．110 D．105
【解析】由题得S77
7＝2(a1＋a7)＝2
·2a4＝7a4＝7×15＝105.
1
【答案】D
1211*
3．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N)，则该数列的通项为( )
2an＋1anan＋212
A．an＝B．an＝
nn＋1C．an＝
23
D．an＝ n＋2n2
?1?111111111
＝＋可得－＝－，知??是首项为＝1，公差为－
【解析】由
an＋1anan＋2an＋1anan＋2an＋1
n?an?
a1a2a1
11
＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.
an【答案】A
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S9＝45，a3＋a8＝12，则a7等于( ) A．10 B．9 C．8 D．7
【解析】S9＝9a5＝45a5＝5，而a3＋a8＝12a5＋a6＝12，a6＝7. ∵2a6＝a5＋a7，∴a7＝9. 【答案】B
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11, a3＋a7＝－6，则当Sn取得最小值时，
n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
??a1＝－11【解析】由题设?
?2a1＋8d＝－6?
d＝2，则Sn＝n2＋(－11－1)n＝n2－12n，所以当n＝6
时，Sn＝n－12n最小．
【答案】A 【知识要点】 1．等差数列的定义
2
2
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N)． 3．等差中项
a＋b如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
24．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N)，则am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则an，an＋m，an＋2m，…(n，m∈N)是公差为__md__的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 5．等差数列的前n项和公式
n（a1＋an）n（n－1）*
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d(n∈N)．
226．等差数列的前n项和公式与函数的关系 d?d2?*
Sn＝n＋?a1－?n(n∈N)．
2?2?
数列{an}是等差数列Sn＝An＋Bn(A、B为常数，n∈N)． 7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．
2
*
*
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*
*
3
典例剖析 【p73】
考点1 等差数列基本量的计算
例1(1)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十
??5a1＋20d＝15
项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．由此得：?
?5a1＋25d＝30?
d＝3.
【答案】C
(2)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________． 【解析】a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1， k（k－1）2*
Sk＝k＋×2＝k＝9.又k∈N，故k＝3.
2【答案】3
【点评】在求解等差数列的基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加简捷． 考点2 等差数列的性质及应用
例2(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝( ) A．18 B．99 C．198 D．297
11【解析】因为a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1
2＋a11)＝11a6＝99.
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