曲线的极坐标方程为由

，

（且），即，

.

，得曲线的直角坐标方程为

（Ⅱ）∵∴

在直线上，，

在曲线上， ，

∴

∴

，

.

22．（2019·湖北高考模拟（文））[选修4-4：极坐标与参数方程]

??x?2?2cos?在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（?是参数），以坐标原点O为极点，x??y?2sin?轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??4sin?. （1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

??????0???（2）若射线??与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求OA?OB取

2??最大值时tan?的值

【答案】(1) C1的极坐标方程为??22cos?.曲线C2的直角坐标方程为x?y?4y?0. (2) 2 【解析】

22??x?2?2cos?（1）由?得x2?22x?y2?0，

??y?2sin??x2?y2??2将?代入得： ?x??cos???22cos?，故曲线C1的极坐标方程为??22cos?.

2由??4sin?得??4?sin?，

?x2?y2??22222将?代入得x?y?4y，故曲线C2的直角坐标方程为x?y?4y?0. ?y??sin?

17

（2）设点A、B的极坐标分别为??1,??，??2,??， 将??? ?0????????分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：?1?22cos?，?2?4sin?， 2???63??cos????26sin?????，其 33??则OA?OB?22cos??4sin? ?26??sin??中?为锐角，且满足sin???36，cos??，当????时，OA?OB取最大值，

233???66sin?????????2??cos??3?3?2此时????，tan??tan???? ? ?2sin?sin???23??cos?????2?323．（2019·山东高考模拟（文））在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?cos22??3?2sin2??12，点P的极坐标为(2,?)，倾斜角为?的直线

l经过点P.

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求

11?的取值范围. PAPB?36??x??2?tcos?x2y2t【答案】（1）,（为参数）；（2）??1??,?.

124?y?tsin??22?【解析】

x2y2（1）由?cos??3?sin??12可得，x，即?3y?12??1.

124222222设点P(x,y)，则x?2?cos???2，y?2?sin??0，即点P(?2,0)， ∴直线l的参数方程为??x??2?tcos?（t为参数）

y?tsin??22?3y?12（2）将直线l的参数方程代入x得，1?2sin?2??t2?4tcos??8?0，

??48?48sin2??0恒成立，

设点A对应的参数为t1，点B对应的参数为t2，

18

则t1?t2?则

4cos??8tt??0， ，12221?2sin?1?2sin?t?t2t?t1111????1?12 |PA||PB|t1t2t1t2t1t2??t1?t2?2?4t1t2t1t23?3sin2??36????,?.

2?22?24．（2019·辽宁高考模拟（理））在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：??x?2?tcos?（t为参数），

y?tsin???x?4m2C2：?（m为参数）．

?y?4m（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）设曲线C1与C2的交点分别为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积的最小值． 【答案】（1）C1:sinθx-cosθy﹣2sin θ=0，C2:y2＝4x，（2）42． 【解析】

?x?2?tcos?（1）由C1：?（t为参数）消去t得C1：cosθy＝sinθ（x﹣2），得sinθx-cosθy-2sinθ=0,

y?tsin???x?4m2由C2：?（m为参数）消去m得C2：y2＝4x，

?y?4m?ycos???x?2?sin?（2）联立?消去x得y2sinθ﹣4ycosθ﹣8sinθ＝0， 2y?4x?设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2?4cos?，y1y2＝﹣8，又C1与x轴的交点（2，0） sin?∴S△OAB＝?14cos?2?2?|y1﹣y2|?(y1?y2)2?4y1y2?()?32 2sin?1?sin2?1＝4?2?4?1， 22sin?sin?所以 sinθ＝1时，SOAB取得最小值42．

?x?1?cos?25．（2019·山东高考模拟（文））在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为? （?为参数），

y?sin?? 19

以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为???（1）求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线???1??1????3?sin??cos???1．

??3???????,??与圆C的交点为O，M，与直线l的交点为N，求OM?ON的取值??63??范围．

【答案】（1）圆C的极坐标方程为??2cos?.直线l的直角坐标方程为x?33y?1?0.（2）[1,3]【解析】

（1）圆C的普通方程是(x?1)2?y2?1，

将x??cos?，y??sin?代入上式：(?cos??1)2??2sin2??1，化简得：??2cos?，

所以圆C的极坐标方程为??2cos?. 直线l的极坐标方程为???3sin??cos????3???1，

?将x??cos?，y??sin?代人上式，得：x?33y?1?0， ∴直线l的直角坐标方程为x?33y?1?0. （2）设M??1,?1?，因为点M在圆C:??2cos?上，则有?1?2cos?1，

设N???3??12?2,?1?，因为点N在直线l:???3sin??cos????1，则有??33sin?， 1?cos?1所以|OM|?|ON|???2cos?11?23?2sin?3， 31?cos?13tan?1?1∵??1?????,???，∴?3剟tan?13，∴263?33剟33tan?1?12，

20