经检验x=200是原分式方程的解． 0.5x=100
答：第一次购进的蓝莓的单价是200元，第二次购进蓝莓的单价为100元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是找到等量关系，注意分式方程要检验．
23．如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点． （1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形； （2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．
【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】（1）利用平行线的性质得出∠ADE=60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF=60°，进而得出∠BDF=60°即可得出答案；
（2）利用平行线的性质结合（1）中所求得出∠2，∠5+∠6的度数即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图1，∵∠B=60°，DE∥BC， ∴∠ADE=60°，
∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点， ∴∠ADE=∠EDF=60°， ∴∠BDF=60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）解：如图2，由（1）得：∠1=60°， ∵CF∥AB，
∴∠2+∠3=60°，∠B=∠6=60°， ∵∠B=60°，∠C=78°， ∴∠A=∠3=42°， ∴∠2=60°﹣42°=18°，
∴∠5+∠6=60°+78°=138°，
∴∠4=∠180°﹣18°﹣138°=24°．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质和等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，正确利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF是解题关键．
24．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则 原式=A2+2A+1=（A+1）2
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．
上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=（x﹣y+1）2． （2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【考点】因式分解的应用． 【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2 =（x﹣y+1）2；
（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2， 故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1 =（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1 =（n2+3n）2+2（n2+3n）+1 =（n2+3n+1）2， ∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数， ∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
25．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：AE=AF．
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME，判断△DEM的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等即可得出结论；
（2）过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，得出∠DEM=90°即可； 【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵FC⊥BC， ∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°， ∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE=90°， ∠CAF+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF；
（2）解：△DEM是直角三角形；理由如下：
过点E作EH⊥AB于H，如图所示： 则△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴∠DEM=90°，
∴△DEM是直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质；熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．