1. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为

了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设?BAO??（rad），将y表示成?的函数； （ii）设OP?x（km），将y表示成x的函数；

D （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 A （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=?(rad) ，则OA?P O B C AQ10?, 故 cos?cos?10，又OP＝10?10tan?， cos?1010??10?10tan?， 所以y?OA?OB?OP?cos?cos?OB?所求函数关系式为y?20?10sin?????10?0????

cos?4??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10? （Ⅱ）选择函数模型①，y?令y'?0 得sin ??当???0,'?10cos?cos???20?10sin????sin??10?2sin??1?? 22cos?cos???1，因为0???，所以?=，

462?????,?时，y'?0 ，y是?的增函数，所以当?=时，

6?64?103km处。 3????6?'?时，y?0 ，y是?的减函数；当???ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边

2. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=?，

∠ADE=?。

(1)该小组已经测得一组?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使?与?之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，

?-?最大？

（1）

HHhH?tan??AD?，同理：AB?，BD?。

tan?ADtan?tan?HHhhtan?4?1.24????124。 ，解得：H?tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20 AD—AB=DB，故得

因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知d?AB，得tan??HHhH?h,tan????， dADDBdHH?h?tan??tan?hdhd tan(???)??d?2?1?tan??tan?1?H?H?hd?H(H?h)d?H(H?h)dddH(H?h)d??2H(H?h)，（当且仅当d?H(H?h)?125?121?555时，取等号）

d故当d?555时，tan(???)最大。 因为0??????2，则0??????2，所以当d?555时，?-?最大。

故所求的d是555m。

3. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰

直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

32DC P

AxEFxB

4. 某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是AB?BD?l，?B??3的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂

直于底面（C不与A,B重合），且CD可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕

CD在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D?C?A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v．为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中?DCB??的大小. （1）当?变化时，试将货物运行的时间t表示成?的函数（用含有v和l的式子）； （2）当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？

解：（1）在?BCD中

D?BCD??,?B??3,BD?l

?BC?lsin(120???)3l，CD? ………………4分

sin?2sin?lsin(120???)，

sin??AC?AB?BC?l?则t??2?ACCDllsin(120???)3l) … ……8分 ，(???????333vv3v3vsin?2vsin?l3cos?3ll3l3?cos? ………………10分 (1?)????6vsin?2vsin?6v6vsin?（2）t?3?cos?1?3cos?'，则m(?)? ………………12分

sin?sin2?11?2?')令m(?)?0得cos??，设cos?0? ?0?(,，

3333?2?')时m'(?)?0 则??(,?0)时，m(?)?0；??(?0,33令m(?)??cos??16?4时m(?)有最小值22，此时BC?l. ………………14分 38答：当BC?

6?4l时货物运行时间最短. ………………15分 8