徐州一中高三最后冲刺应用题50练 - 图文 下载本文

1. 如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为

了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm. (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设?BAO??(rad),将y表示成?的函数; (ii)设OP?x(km),将y表示成x的函数;

D (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。 A (Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO=?(rad) ,则OA?P O B C AQ10?, 故 cos?cos?10,又OP=10?10tan?, cos?1010??10?10tan?, 所以y?OA?OB?OP?cos?cos?OB?所求函数关系式为y?20?10sin?????10?0????

cos?4??②若OP=x(km) ,则OQ=10-x,所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10? (Ⅱ)选择函数模型①,y?令y'?0 得sin ??当???0,'?10cos?cos???20?10sin????sin??10?2sin??1?? 22cos?cos???1,因为0???,所以?=,

462?????,?时,y'?0 ,y是?的增函数,所以当?=时,

6?64?103km处。 3????6?'?时,y?0 ,y是?的减函数;当???ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离AB 边

2. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=?,

∠ADE=?。

(1)该小组已经测得一组?、?的值,tan?=1.24,tan?=1.20,请据此算出H的值;

(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使?与?之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,

?-?最大?

(1)

HHhH?tan??AD?,同理:AB?,BD?。

tan?ADtan?tan?HHhhtan?4?1.24????124。 ,解得:H?tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20 AD—AB=DB,故得

因此,算出的电视塔的高度H是124m。 (2)由题设知d?AB,得tan??HHhH?h,tan????, dADDBdHH?h?tan??tan?hdhd tan(???)??d?2?1?tan??tan?1?H?H?hd?H(H?h)d?H(H?h)dddH(H?h)d??2H(H?h),(当且仅当d?H(H?h)?125?121?555时,取等号)

d故当d?555时,tan(???)最大。 因为0??????2,则0??????2,所以当d?555时,?-?最大。

故所求的d是555m。

3. 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰

直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?

(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

32DC P

AxEFxB

4. 某运输装置如图所示,其中钢结构ABD是AB?BD?l,?B??3的固定装置,AB上可滑动的点C使CD垂

直于底面(C不与A,B重合),且CD可伸缩(当CD伸缩时,装置ABD随之绕

CD在同一平面内旋转),利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D?C?A运送至A处,货物从D处至C处运行速度为v,从C处至A处运行速度为3v.为了使运送货物的时间t最短,需在运送前调整运输装置中?DCB??的大小. (1)当?变化时,试将货物运行的时间t表示成?的函数(用含有v和l的式子); (2)当t最小时,C点应设计在AB的什么位置?

解:(1)在?BCD中

D?BCD??,?B??3,BD?l

?BC?lsin(120???)3l,CD? ………………4分

sin?2sin?lsin(120???),

sin??AC?AB?BC?l?则t??2?ACCDllsin(120???)3l) … ……8分 ,(???????333vv3v3vsin?2vsin?l3cos?3ll3l3?cos? ………………10分 (1?)????6vsin?2vsin?6v6vsin?(2)t?3?cos?1?3cos?',则m(?)? ………………12分

sin?sin2?11?2?')令m(?)?0得cos??,设cos?0? ?0?(,,

3333?2?')时m'(?)?0 则??(,?0)时,m(?)?0;??(?0,33令m(?)??cos??16?4时m(?)有最小值22,此时BC?l. ………………14分 38答:当BC?

6?4l时货物运行时间最短. ………………15分 8