则
z0也是P(z) 的根。
《复变函数》考试试题（九）
一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，2?5=10分）
1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零。 （ ） 2．若zn?10是多项式P(z)?annz?an?1z?????a0（an?0）的根，
（ ）
3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为 一常数。 （ ）
4．设函数f1(z)与f2(z)在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，
则对任意的z?D，有
f1(z)?f2(z)。 （ ）
5．若z?? 是函数f(z)的可去奇点，则Rez??sf(z)?0。
（ ）
二、填空题（每题2分） 1． i2?i3?i4?i5?i6?____。
2．设z?x?iy?0，且???argz??，??y2?arctanx??2，当29
x?0,y?0时，argz?arctanyx?_______。 3．函数w?1z将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线__________。 4
．
方
程
z4?a4?0(a?0)的
不
同
的
根
为
________________________。
5．(1?i)i__________________________________。 ?6
．
级
数
?[2?(?1)n]zn的收敛半径
为
n?0________________________。
7．cosnz在|z|?n（n为正整数）内零点的个数为
________________________。
8．函数f(z)?6sinz3?z3(z6?6)的零点z?0的阶数为______。 9．设a为函数
f(z)??(z)?(z)的一阶极点，且
?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则
Rez?asf(z)?___________________。
10．设a为函数
f(z)的m阶极点，则
Ref?(z)z?asf(z)?___________________。 三、计算题。（50分） 1．设
u(x,y)?1ln(x2?y22)。求v(x,y)，使得
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足f(1?i)?12ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）。（15分）
2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分）
1z?1 （1） tan2z； （5分） （2）eez?1。（5分）
3．计算下列积分。（15分）
30
（1） ?z19|z|?4(z2?1)4(z4?2)3dz（8分）， （2）??d?01?cos2?（7分）。
4．叙述儒歇定理并讨论方程z7?5z4?z2?2?0在|z|?1内根的个数。（10分）
四．证明题。（20分）
1．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明
f(z)是下半复平面内的解析函数。（10分）
2．设函数
f(z)在|z|?R内
解
析
，
令
M(r)?max|z|?r|f(z)|,(0?r?R)。证明：M(r)在区间[0,R)上是
一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使
M(r1)?M(r2)，则f(z)?常数。（10分）
《复变函数》试卷(十)
一、填空题。(每题2分) 1、设z?r(cos??isin?)，则
1z?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，
则
zlim?zf(z)?A的充
要
条件是
0___________________。__ ___3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意
一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。
4、设z?a为f(z)的极点，则limz?af(z)?______。
5、设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的______阶零点。
31
6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。
7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲
线是______。 8、设z??sin?6?icos?6，则z的三角表示式为
_____________。__
?9、?40zcoszdz?___________________。
?z10、 设f(z)?ez2，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。
1、计算下列各题。(9分)
(1) cosi; (2) ln(?2?3i); (3) 33?i 2、求解方程z3?8?0。(7分)
3、设u?x2?y2?xy，验证u是调和函数，并求解析函数
f(z)?u?iv，使之f(i)??1?i。(8分)
4、计算积分。(10分)
(1)
?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲
线。
(2)
?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。 5、试将函数f(z)?1(z?1)(z?2)分别在圆环域0?|z|?1和
1?|z|?2内展开为洛朗级数。(8分)
6 、计算下列积分。
(8分)
(1) ?5z?2sin2|z|?2z(z?1)2dz; (2)
?z|z|?4z2(z?1)dz.
7、计算积分???x2??1?x4dx。(8分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)
32