当x=时，函数y=≤﹣∴
﹣4m≤﹣，
，或m≥
2
﹣+1取得最小值﹣，
解得m≤﹣， ，或
≤m＜1．
综上所述﹣2＜m≤﹣
点评： 本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，以及函数恒成立的问题，和一元二次方程根的关系，属于中档题．
24．（8分）已知椭圆C：
2
+=1（a＞b＞0）的离心率e=
，左、右焦点分别为F1，F2，
抛物线y=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点． （1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x+y=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
22
分析： （1）通过=、抛物线y=4
2
x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，计算即得结
论；
（2）分直线l的斜率不存在、直线l的斜率为0、直线l的斜率存在且不为0三种情况讨论，利用韦达定理计算即得结论． 解答： （1）解：∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，
∴e==，即a=
2
c，
∵抛物线y=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点， ∴a=，∴c=b=1， ∴椭圆C的方程为：
；
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时， ∵直线l与圆O相切，∴直线方程为：x=Ⅰ．联立
与x=
，可得：A（
2
或x=﹣，
2
，
，﹣
），
），B（
∴以AB为直径的圆的方程为：（x﹣）+y=；
Ⅱ．联立与x=﹣，可得：A（﹣
2
2
，），B（﹣，﹣），
∴以AB为直径的圆的方程为：（x+综合Ⅰ、Ⅱ可知两圆过定点（0，0）；
②当直线l的斜率为0时，
）+y=；
∵直线l与圆O相切，∴切线方程为：y=Ⅰ．联立
与y=﹣
，可得：A（
2
或y=﹣，﹣
2
， ），B（﹣
，﹣
），
∴以AB为直径的圆的方程为：x+（y+Ⅱ．联立
与y=
，可得：A（
2
）=； ，
2
），B（﹣，），
∴以AB为直径的圆的方程为：x+（y﹣综合Ⅰ、Ⅱ，显然过定点（0，0）； ③当直线l的斜率存在且不为0时，联立消去y得：（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理知：x1+x2=﹣
，x1x2=
2
2
2
）=；
与y=kx+m，
，
∴y1y2=
，
=x1x2+y1y2=
，
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==，
即m=（1+k），从而
22
=0，
显然以AB为直径的圆经过原点；
综合①②③可知：以AB为直径的圆必经过原点．
点评： 本题考查求椭圆方程，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴． （1）试用含有p的式子表示q；
（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；
2
（3）当x≠1，h（x）f（x）=x﹣4tx+4t，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．
22
分析： （1）由题意化简g（x）=﹣lnx+px﹣qx，求导g′（x）=﹣+px﹣q；从而可得g′（1）=﹣1+p﹣q=0，从而解得；
（2）先确定函数g（x）=﹣lnx+px﹣qx的定义域，再求导g′（x）=﹣+px﹣q=
，讨论以确定其正负，从而确定函数的单调性；
2
2
（3）由题意化简h（x）=，求导h′（x）=，
再令m（x）=2lnx﹣＞1；从而证明．
，求导m′（x）=；从而可判断0＜a＜t，b=2t＜1，c
解答： 解：（1）由已知得g（x）=﹣lnx+px﹣qx， g′（x）=﹣+px﹣q，
又∵函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴， ∴g′（1）=﹣1+p﹣q=0， 故q=p﹣1；
（2）由（1）知，g（x）=﹣lnx+px﹣qx的定义域为（0，+∞）， g′（x）=﹣+px﹣q=
，
2
2
①当p=0时，
g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； ②当p=﹣1时，g′（x）=﹣
故g（x）在（0，+∞）上是减函数； ③当p＜﹣1时，g′（x）=0＜﹣＜1；
故g（x）在（0，﹣），（1，+∞）上是减函数，在（﹣，1）上是增函数；
；
≤0，
④当﹣1＜p＜0时，g′（x）=﹣＞1；
；
故g（x）在（0，1），（﹣，+∞）上是减函数，在（1，﹣）上是增函数； （3）证明：由题意得， h（x）=
，h′（x）=
令m（x）=2lnx﹣，m′（x）=；
故m（x）=2lnx﹣在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增；
而函数h（x）有三个极值点为a，b，c， 则m（x）=2lnx﹣
=0在（0，+∞）上有两个不相等相都不等于2t的根，
且h（x）的一个极值点为2t；
∵t∈（0，），mmin（x）=m（t）=2lnt+1＜2ln+1＜0；
m（1）=2ln1+2t﹣1=2t﹣1＜0； 又∵a＜b＜c，
∴0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1； ∴0＜2a＜b＜1＜c．
点评： 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，难题在于构造函数以使问题简化，属于难题．