由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0， 令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），

当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值﹣ 故③正确； 故选：C．

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分 13．（5分）函数f（x）=﹣log2

为奇函数，则实数a= 1 ．

=﹣+log2

，即可

【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2求出a的值．

【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2∴a=±1，

a=﹣1，函数定义域不关于原点对称，舍去． 故答案为1．

=﹣+log2

【点评】本题考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．（5分）已知0＜x＜

，且tan（x﹣

）=﹣，则sinx+cosx= ．

【分析】利用两角差的正切公式求出tanx的值，又根据已知条件列出方程组，求解即可得到sinx，cosx的值，代入sinx+cosx计算得答案． 【解答】解：∵tan（x﹣∴又0＜x＜

=

，则tanx= ，

）=﹣，

∴，解得sinx=，cosx=，

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则sinx+cosx=故答案为：．

．

【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，是基础题．

15．（5分）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22，28=22+23+24，…，按此规律，8128可表示为 26+27+…+212 ．

【分析】依据定义，结合可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，即可得出结论．

【解答】解：由题意，2n﹣1是质数，2n﹣1（2n﹣1）是完全数， ∴令n=7，可得一个四位完全数为64×（127﹣1）=8128， ∴8128=26+27+…+212， 故答案为：26+27+…+212．

【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．

16．（5分）已知双曲线C：

﹣

=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，

?

=0，则双曲线离心

若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使率的取值范围是

≤e＜ ．

【分析】设焦点为F（c，0），设直线AB：y=k（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k，即可得到离心率的范围． 【解答】解：直线的斜率不存在时，A（c，

），B（c，﹣

），由于OA⊥OB，

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则有x1x2+y1y2=0，可得e=；

焦点为F（c，0），直线AB：y=k（x﹣c）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），

则联立直线方程和双曲线的方程，可得 （b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0， 则△=4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0， x1+x2=

，x1x2=

，

则y1y2=k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））=k2?由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0， 即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）=0， 即有k2=

，

，

∴

∵b＞a，∴故答案为

＞＞e＞≤e＜

，

， ．

【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，考查运算能力，属于中档题和易错题．

三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（Ⅰ）求cosB；

（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．

【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值；

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b=4c，B=2C

（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC和平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC， 又

b=4c，所以cosC=

=

=

，

所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1=； （Ⅱ）因为c=5，

b=4c，所以b=

，

由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB 则80=a2+25﹣2×化简得，a2﹣6a﹣55=0， 解得a=11或a=﹣5（舍去）， 由BD=6得，CD=5， 由cosC=

得sinC=

=

，

a，

所以△ADC的面积S==

=10．

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式、余弦公式变形等，以及三角形的面积公式的应用，考查方程思想，化简、计算能力．

18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：

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