3131
由z＝3x＋2y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，
2222
3131
由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z2222最大．
??2x＋y＝4，
由?
?x＋3y＝7，?
解得A(1,2)，代入目标函数z＝3x＋2y，得z＝3×1＋2×2＝7.
即目标函数z＝3x＋2y的最大值为7. 答案：7
3．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值为________． 解析：因为a>1，b>1，所以lg a>0，lg b>0. lg a＋lg blg a·lg b≤
4
2
＝
lg ab4
2
＝1.
当且仅当a＝b＝10时取等号， 故lg a·lg b的最大值为1. 答案：1
4．不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 解析：因为不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a－4×4>0，即a>16. 所以a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
5．若关于x的不等式ax－6x＋a<0的解集是(1，m)，则m的值为________． 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax－6x＋a＝0的一个根，即a＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax－6x＋a<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax－6x＋a<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m＝2.
答案：2
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是________．
解析：法一：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1，f(x)<0，即log2(－x)－1<0，得－2
法二：先作出函数f(x)在x>0时的图象，再根据奇函数f(x)的图象关于原点对称可得
5
f(x)在R上的图象，结合图象可知，不等式f(x)<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．
答案：(－2,0)∪(2，＋∞)
―→―→―→2
7．已知点P是△ABC内一点(不包括边界)，且AP＝mAB＋nAC，m，n∈R，则(m－2)＋(n－2) 的取值范围是________．
―→―→
解析：因为点P是△ABC内一点(不包括边界)，且AP＝mAB＋
2
m＞0，??―→
nAC，所以m，n满足条件?n＞0，
??m＋n＜1，
2
2
作出不等式组所表示的
平面区域如图所示．因为(m－2)＋(n－2)表示的是区域内的动点
|2＋2－1|3?3?
(m，n)到点A(2,2)的距离的平方．因为点A到直线m＋n＝1的距离为＝，故??
22?2?
2
?9?22222
＜(m－2)＋(n－2)＜OA，即(m－2)＋(n－2)的取值范围是?，8?.
?2?
?9?答案：?，8? ?2?
8．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件?
?x＋|y|≤1，???x≥0，
则z―→―→
＝OA·OP的最大值为________．
解析：如图作满足约束条件的可行域，
z＝OA·OP＝x＋2y，显然在B(0,1)处取得最大值，所以zmax
＝2.
答案：2
9．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an14
使得 aman＝4a1，则＋的最小值为________．
―→―→
mn解析：设正项等比数列{an}的公比为q，由a7＝a6＋2a5，得q－q－2＝0，解得q＝2(q＝－1，舍去)
由aman＝4a1，即2即m＋n＝6.
141?14?故＋＝(m＋n)?＋? mn6?mn?51?4mn?543＝＋?＋?≥＋＝， 66?nm?662
m+n-222
＝4，得2
m＋n－2
＝2，
4
6
4mn当且仅当＝即m＝2，n＝4时等号成立，
nm143即＋的最小值为. mn23答案：
2
10．已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝是________．
解析：y要取最小值，则a要最大，而a的最大值是b＋c，所以y＝
＋≥＋a＋bc2b＋cba＋bcc＋的最小值
cbcb111b1?b1?1＝＋?＋?－≥ 2－，当且仅当＝＋时取等号，即y的最小值是2－c?b1??c2?22b1?c2?2?＋?2?＋?
?c2??c2?
1. 2
1
答案：2－
2
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a不是最大边，已知a－b＝2bcsin A，则tan A－9tan B的最小值为________．
解析：由余弦定理，a＝b＋c－2bccos A及a－b＝2bcsin A，得c－2bccos A＝2bcsin
2
2
2
2
2
2
2
2
A，
即c－2bcos A＝2bsin A，再由正弦定理，得sin C－2sin Bcos A＝2sin Bsin A， 即sin(A＋B)－2sin Bcos A＝2sin Bsin A， 即sin Acos B－cos Asin B＝2sin Asin B， 所以tan A－tan B＝2tan Atan B. tan A所以tan B＝，
2tan A＋1
由题意知tan A>0，所以2tan A＋1>0， 9tan A所以tan A－9tan B＝tan A－
2tan A＋11
＝(2tan A＋1)＋22≥2
9
－5
2tan A＋1
9
2tan A＋1
－5＝－2.
1
2tan A＋1×22
1
当且仅当(2tan A＋1)＝
229
，即tan A＝1时取“＝”．
2tan A＋1
故tan A－9tan B的最小值为－2.
7
答案：－2
a2221
12．已知a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，则－＋b－的最小值为________．
4ab21
解析：因为ab－a－2b＝0，所以＋＝1，因为a，b均为正数，所以b>1，
aba2221a22b2
所以－＋b－＝＋b－1＝
4ab4b－1a2221x＋1所以－＋b－＝
4abx2
1，
1因为x＋≥2
2
2
＋b－1，令x＝b－1>0，
2
12?1?2?1?22
＋(x＋1)－1＝x＋2＋2x＋＋1＝?x＋?＋2?x＋?－
xx?x??x?
xx·＝2，当且仅当x＝1时取等号， x2
1
a221?1?2?1?2
所以?x＋?＋2?x＋?－1≥2＋2×2－1＝7，即－＋b－的最小值为7.
4ab?x??x?
答案：7
13．若关于x的不等式(ax－1)(ln x＋ax)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
1
a≤，??x1??ln x??解析：(ax－1)(ln x＋ax)≥0??a－??a＋≥0??x??x???ln xa≤－??x1
a≥，??x?ln x??a≥－x.
或
1ln x设函数f(x)＝，g(x)＝－，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，
xx
1??由图象可得实数a的取值范围是?－∞，－?∪{e}．
e??1??答案：?－∞，－?∪{e}
e??
8