行年利率为r，若利息按复利计息，每年计算一次，则年底时他的存款总额为a(1?r)。

如果银行改为半年计算一次利息，年利率不变，则半年的利率为存款总额应为a(1?r2)元。

rn)元。

rn)元。对其求

nn2r2，则年底时，他的

当银行每年计息n次，可以推得，年底时存款总额应为a(1?当银行在年内连续计息时，即n??时，年底存款总额为lima(1?n??极限可以得到：

lima(1?n??rn)?alim[(1?n??nrnn)r]?a[lim(1?n??rrnnrr)r]?ae

因此，在连续计息的情况下，年底时这个人的存款的余额为aer元。

我们可以将其推广到存款多年的情况，在连续计息时，第二年年底的存款余额为

ae?e?aerr2r元，则可以得出t年末的存款余额为aetr元。

因此，连续复利时，本金为a元，年利率为r，则t年末的资金余额为：FV?aetr元。

同样可以得到，t年末的资金a元，在连续复利的情况下，贴现值为：PV?ae?tr。

3.5一元函数的导数

1. 一元函数导数的定义：设y?f(x)为定义在集合D上的一元函数，x0?D，

则函数在x0点处的导数定义为：

dydxx?x0?limf(x)?f(x0)x?x0x?x0或f(x0)?lim'f(x0??x)?f(x0)?x?x?0

2. 导数的四则运算法则：

设函数f(x)和g(x)都在x点可导，则这两个函数的和、差、积、商均在x点可导。 (1) [cf(x)]?cf(x)(c为常数)；

''(2) [f(x)?g(x)]?f(x)?g(x)；

''' 5

(3) [f(x)g(x)]'?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)；

f(x)g(x)'(4) []?f(x)g(x)?f(x)g(x)g(x)2''，[g(x)?0]

3．复合函数的导数——链式法则

设函数h(x)?f(g(x))是和u?g(x)的复合函数，且函数u?g(x)在x点处可导，

''''y?f(u)在u点处可导，则有h(x)?[f(g(x))]?f(g(x))g(x)

或

dydx?dydududx（链式法则）

3.6二元函数求偏导

3.6.1二元函数的一阶偏导数

二元函数的偏导数的定义为：设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的一个邻域有定义，当

y固定在y而x在x处有增量?x时，如果极限lim?00?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x存

在，则称此极限为函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的对x的偏导数，记作

?z?x(x0,y0)，

?f?x(x0,y0)，zx(x0,y0)或fx(x0,y0)

类似地，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为

lim??y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?f?y(x0,y0)

记作

?z?y(x0,y0)，

，zy(x0,y0)或fy(x0,y0)

如果函数z?f(x,y)在定义域D内每一点(x,y)对x的偏导数都存在，那么这个偏导数是x、y的函数，它就称为对x的偏导数函数。记作

类似地，可以定义对自变量y的偏导数函数，

?z?y?z?x，zx，fx(x,y)

，zy，fy(x,y)

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在z?f(x,y)求偏导数时，实际上和一元函数求导方法相同，求

?f?y?f?x时，只要把y看

作常量而对x求导数；求时，只要把x看作常量而对y求导数。

3.6.2二元函数高阶偏导数

设函数z?f(x,y)在定义域D内具有偏导数fx(x,y)，fy(x,y)，那么在D内

fx(x,y)，fy(x,y)都是x、y的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函

数z?f(x,y)的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

???z??z???z??z?fxx(x,y)， ??fxy(x,y) ??????x??x??x2?y??x??x?y22???z??x???y??z????f(x,y)，yx??y?x?y?2??z???y???z??fyy(x,y) ??2??y2类似地，可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数，二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，在二阶偏导数计算中引出一个重要定理：

杨格定理 如果函数z?f(x,y)的两个二阶混合偏导数

?z?y?x2，

?z?x?y2在区域D

内连续，那么自该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

杨格定理说明在求导时不必关心求导的顺序。

3.7多元函数的求导

二元函数偏导数的概念可以推广到多元的情况，定义为： f(x)?f(x1,x2,?,xn)?limf(x1,x2,?,xi??x,?,xn)?f(x1,x2,?,xi,?,xn)?x?x?0多元偏导数的计算并不需要引入新的方法。因为在函数中仅有一个自变量在变化，其他各个自变量都是固定的，所以，在计算时只需要将其他自变量看作常量，对变动的自变量运用一元函数求导法则计算即可。

二元函数的杨格定理也可以直接推广到多元函数

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如果n元函数f(x1,x2,?,xn)对于xi的一阶偏导数函数是连续的，则有

?f(x)?xi?xj2??f(x)?xj?xi2

对于多元函数的求导有一个重要的向量和矩阵，称为梯度向量和海赛（Hessian）矩阵 定义

n元函数f(x)?f(x1,x2,?,xn)对于xi的一阶偏导数构成的n维列向量称为梯度向

量，记为?f(x)，即

?f1(x)????f(x)f(x)??f(x)????，其中i

?xi?f(x)??n?n元函数f(x)?f(x1,x2,?,xn)的所有二阶偏导数组成的矩阵称为f(x)的海赛

（Hessian）矩阵，记为H(x)：即

?f11(x)??f21(x)H(x)?????f(x)?n1????f1n(x)??f2n(x)?? ??fnn(x)??其中fij(x)??f(x)?xi?xj2，

根据杨格定理，fij?fji，故H(x)为对称矩阵。

3.8隐函数

3.8.1 定义

我们将方程F(y,x1,x2,?,xn)?0确定的函数关系，称为隐函数，既对于任意一组变量X?(x1,x2,?,xn)，相应地总有满足方程F(y,x1,x2,?,xn)?0的唯一的y值存在，那么就称方程F(y,x1,x2,?,xn)?0确定了一个隐函数1。 1

隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，

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