?b?b2?4ac?b?b2?4ac2b2?4ac∴| x1－x2|＝ ??2a2a2ab2?4ac? ?． ?|a|a||于是有下面的结论：

若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝中Δ＝b2－4ac）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则

x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4， 17

由②得 a＜4 ． ∴a的取值范围是a＜4．

?（其|a|练 习

1．选择题：

（1）方程x2?23kx?3k2?0的根的情况是 （ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m

的取值范围是 （ ） （A）m＜ （C）m＜2．填空:

11 （B）m＞－ 4411，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 44（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则

11?＝ ． x1x2（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． 3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不

相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

习题2.1 A 组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

7③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?；

3④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． （2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B 组

1．选择题:

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）

（A）3 （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则

x1x2 ?的值为 （ ）

x2x13 2 （A）6 （B）4 （C）3 （D）

（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值

范围为 （ ） （A）α＋β≥

11 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22c＝0的根的情4（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋

况是 （ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 （5）若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ）

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值

等于 ．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2

＋b3的值是 ．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值． 6． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－

值；若不存在，说明理由； （2）求使

x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1x1，试求?的值． x23成立？若存在，求出k的2x1?x2； 2（3）若k＝－2，??7．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝

12

x，y＝－2x2的图象，通2过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x x2 2x2 … … … －3 9 18 －2 4 8 －1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 … …