于是得到拉格朗日法表示为：
x?acos(k1t)?bsin(k1t) y?asin(k1t)?bcos(k1t) z?k2t?c
11. 解：根据随体导数定义：
?vx?vx?vx?vx?a??v?v?vxyz?x?t?x?y?z??vy?vy?vy?vy??vx?vy?vz ?ay??t?x?y?z???vz?vz?vz?vza??v?v?v?zxyz?t?x?y?z?将速度代入随体导数中，得：
ax?0?x2y?2xy????3y??x2??0?2x3y2?3x2y
ay?0???3y???3??0?0?9y az?0?0?0?8z3?8z3 代入点（1，2，3）得：
?ax?2??ay?18 ??az?2165 / 17
第四章习题参考答案（仅限参考）
1. 错、错、错 2.a 3.c
4．解：根据平面不可压缩流体连续性的性质：
?V?V（1）x?z?0；连续
?x?z?V?V（2）x?z?1?0?1；不连续
?x?z?V?V（3）x?z?2x?1；当x=0.5时连续，其他情况不连续
?x?z5. 解：同题4，
??Vx?Aycos(xy)???x（1）?；当x=y时，连续；其他情况不连续
?Vy???Axcos(xy)??y?A??Vx????xy?（2）?；连续
?V?y?A?y??y6. 解：应用伯努利方程： p'v2p?+0?+0+0 ?g2g?g解得v?流量Q?p?p??20.98m/s ??'21?3.14d2v?2.37?10?3m3/s 47. 解：根据流体静力学知识得到以下关系式：
p1??gh?p2??水gh?2?g?h 根据左右两管水的体积相等，有：
d2D2h??2?h?
44d2h，代入可解得： 得：?h?22Dh?p1?p2?0.1m
?水g??g?2?gdD226 / 17
8. 解：选取圆柱坐标系，假设流动是沿z轴方向进行，且为充分发展的层流流动。根据已知条件可知，流动是轴对称，θ方向可不考虑，仅z方向有流动。由连续性方程、稳定流动，忽略质量力，则有：
??z??z????z??z1?P???2?z1??z1?2?z?2?z??r???z?Fz???2??2?22?t?rr???z??z???rr?rr???z??z??z??2?z?2?z??0；2??0； ?0；?r????0；2?z???t?z???? ?化简得：
1???z1?P1???z1?P；=常数 (r)?(r)?r?r?r??zr?r?r??z进行第一次积分，并将边界条件r=0处，代入，算得积分常数C1；再进行第二次积分，并将r=R处，υz=0代入，算得出C2。最后得到：
1dP22R2dPr?z??(R?r)??[1?()2]
4?dz4?dzR式中r为管截面上速度为υz处到管中心的距离，R为圆管半径。显然其速度分布呈抛物线形。下面很容易推导出υz与υzmax的关系为：
r?z??zmax[1?()2]
R9.解：列1-2处的伯努力方程：（以2处为0基点），用相对压强计算：
v12v220??gh2?0??0
22由于水槽的直径比虹吸管的直径大很多，那么就可以近似设v1等于0。 代入可得v2?2gh2?8.86m/s
d22d22?3.14?2gh2??3.14?6.26?10?3m3/s 流量Q?v244同理列2-3处的伯努利方程（p2为什么为0）：（以2处为0基点）
p3v32v22??g(h1?h2)?0??0 ?22根据质量守恒：3处和2处的速度满足： v22v32vd2?d1，得v3?2?2.215m/s 444代入得：
??v22?v12??p3????(h?h)?12??g??22024.3Pa
??2g??负号表示C处的压强低于一个大气压，处于真空状态。正是由于这一真空，才
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可将水箱中的水吸起。
用绝对压强表示：101325-22024.3=79300.7 Pa.
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