对数换底公式：logab?

logcbn?logambn?logablogcam1logax?logxa

16. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)?f?x2?x1??x2?……

??

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1. 正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 2. 幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（3.

指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝4.

对数函数型的抽象函数

x）＝ f（x）－f（y） yf(x) f(y)f(x)x）＝

f(y)yf（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（5.

三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝

f(x)?f(y) 1?f(x)f(y)f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)13 / 19

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，

2

f(3)＝ 5，求不等式 f（a－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围. 分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（x1）＝f（

x1x·x2）＝f（1）f（x2）； x2x2 （3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求： （1）f（0）；

(2)对任意值x，判断f（x）值的符号. 分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1） f（1）；

（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b， 进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ① ② ③

x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)?1；

f(x2)?f(x1)f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）； 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

14 / 19

试问： （1） f（x）的奇偶性如何？说明理由； （2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数； （3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）， （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0； （2） 求证：f（x）为偶函数；

1（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

2分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0） （1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1； （2） 令y＝ －1； （3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证： （1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1； （2） f（x）在x∈R上是减函数. 分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x； （3） 受指数函数单调性的启发： 由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝

f(x)， f(y)进而由x1＜x2，有

f(x1)＝f（x1－x2）＞1. f(x2)练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ） （A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）

1（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x）

x（C）f（

x）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N） y3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ） （A）（1，＋∞） （B）（－∞，1） （C）（0，1） （D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝

f(x1)?f(x2)，则f（x）为（ ）

1?f(x1)f(x2)15 / 19

（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）

（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案：

1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B

函数典型考题

1.若函数f(x)?(m?1)x?(m?2)x?(m?7m?12)为偶函数，则m的值是 （B ）

22A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(??,0)上单调递减，求满足

f(x2?2x?3)?f(?x2?4x?5)的x的集合．

．解： Qf(x)在R上为偶函数，在(??,0)上单调递减

?f(x)在(0,??)上为增函数 又f(?x2?4x?5)?f(x2?4x?5) Qx2?2x?3?(x?1)2?2?0，x2?4x?5?(x?2)2?1?0

由f(x2?2x?3)?f(x2?4x?5)得 x2?2x?3?x2?4x?5

?x??1 ?解集为{x|x??1}.

3.若f(x)是偶函数，它在?0,???上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ C A. (

110，1) B. (0，110)U(1，??) C. (110，10) D. (0，1)U(10，??) 4.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ D abA. a2>b2 B. ab<1 C. lg?a?b? >0 D.??1??1??2??

5.设a,b,c都是正数，且3a?4b?6c，则下列正确的是 （B (A) 11c??1 (B) 2C?21 (C) 12212aba?bC?a?b (D) 2c?a?b

6．对于函数f?x??ax2?bx??b?1?（a?0）．

（Ⅰ）当a?1,b??2时，求函数f(x)的零点；

（Ⅱ）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围． 7. 二次函数y?ax2?bx?c中，a?c?0，则函数的零点个数是（ C ）

16 / 19

）

）

）