x2y2
A.＋＝1 1211x2y2
C.－＝1 32答案 D
x2y2
B.－＝1 3635x2y2
D.＋＝1 32
解析 由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，x2y2
F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
32(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( ) x2y2
A.＋＝1(y≠0) 259
x2y2
C.＋＝1(y≠0) 169答案 A
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不x2y2
共线)．设其方程为2＋2＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.
abx2y2
故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
259命题点2 待定系数法
35
－，?，(3，5)，则椭例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点??22?圆方程为__________． y2x2
答案 ＋＝1
106
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)． 35???－?2m＋??2n＝1，
?2?由??2?
??3m＋5n＝1，11解得m＝，n＝.
610y2x2
∴椭圆方程为＋＝1.
106
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________． x2y2
答案 ＋＝1
86
x2y2
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab∵P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
y2x2
B.＋＝1(y≠0) 259
y2x2
D.＋＝1(y≠0) 169
43??a2＋b2＝1，∴?又a2＝b2＋c2， ??2a＝4c，∴a＝22，b＝6，c＝2， x2y2
∴椭圆方程为＋＝1.
86
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( ) x2y2
A.＋＝1 369x2y2
C.＋＝1 49答案 A
x2y2
解析 依题意设椭圆G的方程为2＋2＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，
ab3c
∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝2ab2＝9，∴椭圆
x2y2
G的方程为＋＝1，故选A.
369
E：x2＋
y2
＝1(0 b231－2＝，即a2 b23 1－＝，解得362 x2y2 B.＋＝1 936x2y2 D.＋＝1 94 3 ，且椭圆G上一2 (2)设F1，F2分别是椭圆 B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为______________． 3 答案 x2＋y2＝1 2 解析 设点B的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋ y2 ＝1，∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0)． b2∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方， 则∴A(1－b2，b2)． →→ ∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1＝3F1B， ∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0)． 5b2 2 ∴x0＝－1－b，y0＝－. 335b －1－b2，－?. ∴点B的坐标为?3??3 2 5by2－1－b2，－?代入x2＋2＝1，得b2＝. 将B?3??3b3 2 2 3 ∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1. 2 题型三 椭圆的几何性质 命题点1 求离心率的值(或范围) x2y2 例3 (1)(2018·通辽模拟)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上 ab的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( ) A. 3113 B. C. D. 6323 答案 D 解析 方法一 如图， 在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c， 2c43c∴|PF1|＝＝， cos 30°3|PF2|＝2c·tan 30°＝23c . 3 ∵|PF1|＋|PF2|＝2a， 即 43c23c ＋＝2a，可得3c＝a. 33 c3∴e＝＝. a3 方法二 (特殊值法)： 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1， ∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝3. 2c|F1F2|3∴e＝＝＝. 2a|PF1|＋|PF2|3 x2y2 (2)椭圆2＋2＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点， ab|OP|＝A. 2 a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( ) 4 2266 B. C. D. 4334 答案 D 解析 设 P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝ a2 ， 8 由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2， 又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， ∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2， 则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2， ∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2， 整理得x2＋y2＋5c2＝2a2， a2c2322 即＋5c＝2a，整理得2＝， 8a8c6∴椭圆的离心率e＝＝. a4 x2y2 (3)已知椭圆2＋2＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b ab－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是____． 32 答案 ?，? ?52? 解析 因为|PT|＝|PF2|2－?b－c?2(b>c)， 而|PF2|的最小值为a－c， 所以|PT|的最小值为?a－c?2－?b－c?2. 依题意，有?a－c?2－?b－c?2≥ 3 (a－c)， 2 3(a2 所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)， 所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，