8-5操作与策略

教学目标

1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律

2. 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案 3. 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题

知识点拨

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

例题精讲

模块一、探索与操作

【例 1】 (全国华罗庚杯少年数学邀请赛)如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完

成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？

【解析】 一次操作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正

方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为42，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上留有42?1?41?4(个)小洞孔．连续三次操作后，折纸层数为43，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有43?1?42?16(个)小洞孔．按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为45，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有45?1?44?256(个)小洞孔．

【例 2】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后

粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次．

【解析】 每次操作页面上的字数就增加一倍，第一次操作后页面上有2个字，第2次操作后页面上有

21032?4(个)字，第3次操作后页面上有2?8(个)字，…，则第10次操作后页面上有2个字，由于210?1024?1677?211?2048，因此使整个页面排满，至少需要操作11次．

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【巩固】 (2002年《小学生数学报》邀请赛)一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键．蓝键为“输入

/删除”键(按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除)．每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失．现在先按蓝键输入21．

请你设计一个操作过程，要求：⑴操作过程中只能按红键和黄键；⑵按键次数不超过6次；⑶最后输出的数是3．

【解析】 需按4次红键2次黄键，有如下操作方式：

21???42???84???168???336???33???3

红红红红黄黄21???42???84???168???16???32???3

红红红黄红黄21???42???4???8???16???32???3

红黄红红红黄

【例 3】 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都

用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，?2，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，?4，?2，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？

【解析】 观察

操作次数： 开始 第一次 第二次 第三次 … 总 和： 7 10 13 16 …

易发现每操作一次总和增加3．因此操作100次后产生的新数串所有数之和为7?3?100?307．

【巩固】 (武汉“明星奥数挑战赛”)将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如

对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．

【解析】 由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．

例如：136，63→…→1，1 36，27→…→9，9 84，36→…→12，12

考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020．

【巩固】 (武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一

次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6 直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．

【解析】 操作如下：1234，4321→1234，3087→1234，1853→1234，619→615，619→615，4→…?→7，????前一数每次减少421???2???4???8???16???32???3

黄红红红红黄4→3，4→3，1→2，1→1，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．即

1234与4321的最大公约数为1．此法也称为辗转相减法求最大公约数．

【例 4】 黑板上写着一个形如777?77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚

才擦掉的数字．对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．

【解析】 黑板上起初数是777…77，每次操作后就变出一个新数．不妨设这个数的末位数为b，前面的数

为a，所以就是形为10a?b的数．每次操作后，黑板上就成为3a?b，它比原数少了7a．由此可知：⑴每次操作将使原数逐步变小；⑵如果原数能被7整除，那么所得新数仍能被7整除．所以黑板上最后必将变成7，例如当原数为777时，就有777→238→77→28→14→7．

【例 5】 (2008年“北京奥校杯”解题能力展示活动)将1—13这13个自然数分别写在13张卡片上，

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再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好．然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3??如此进行下去，直到取出最后一张是13为止．则13张卡片最初从左到右的顺序为 ．

【解析】 这13张卡片依次是原来的第3，第6，第9，第12，第2，第7，第11，第4，第10，第5，第1，

第8，第13张，所以原来的顺序为11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13

【例 6】 (2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数1，2，?，98，99．一

次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，?，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，?，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 ．

【解析】 第一轮：分33次划1～9，后面写上6，15，24，…，294共33个数．第二轮：分11次划去这

33个数，后面写上45，126，207，…，855，共11个数．之后的操作一次减少2个数，故还需操作5次．

设这11个数为：a1，a2，…，a11．则接下去的数是：(a1?a2?a3)，(a4?a5?a6)，(a7?a8?a9)，

(a10?a11?a1?a2?a3)，(a4?a5?a6?a7?a8?a9?a10?a11?a1?a2?a3)．

因此最后一数为：a1?a2?a3???a11?1?2???99?4950．

【巩固】 (第六届“迎春杯”决赛)在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两

个之和8?9?17，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9?7?16；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7?6?13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求和，这样添写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4?那么这个数串的前398个数字的和是________.

【解析】 前16个数字是1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9

可见除去前2个数字1、9后，每12个数字一组重复出现.因此前398个数字的和是

1?9?（8?9?7?6?3?9?2?1?3?4?7?1）?398?212?10?60?33?1990

【例 7】 圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1

枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？

AB

【解析】 设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿

了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子．依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a枚

棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了2?39a?1??1枚棋子，所以

N?2(3a?1)?1?a?21，25，27，29

993a?103a?．1N?3a?1?59049a?1是14的倍数，N是2和7的公倍数，

10所以a必须是奇数；又N??7?8435?4?a?1?7?8435a?4a?1，所以4a?1必须是7的倍数．当时，4a?1不是7的倍数，当a?23时，4a?1?91是7的倍数．所以，圆周上还有23枚棋子．

【例 8】 (圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再

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乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21．问：尤拉最初所想的是哪一个数？

【解析】 解法一：(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前，尤拉面临的是一个三位数，其值在210至

219之间．在这些数中，只有两个数是7的倍数：210?7?30和217?7?31．这就意味着在乘以7之前，尤拉的数是30或31．因而在第一次删去末位数之前，尤拉所面临的数为300到319之间的一个三位数．在这些数中只有一个数是13的倍数：312?24?13，所以尤拉最初所想出的数是24．

解法二：(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数，发现最终所得的数不会减小，这是因为无论是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性”．如果开始所想的数是25，那么运算过程如下：25→325→32→224→22.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是24．

【巩固】 (2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，

2，?，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、?，(k?1)号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 个球．

【解析】 使用倒推法．最终各盒中依次有球(10，0，0，0，…)，前一次必然分的是1号盒中的球，否则1

号盒中最终至少有1个球．所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，…)．依次倒推，为：(10，0，0，0，…)←(9，1，0，0，…)←(8，0，2，0，0，…)←(7，1，2，0，0，…)←(6，0，1，3，0，…)←(5，1，1，3，0，…)←(4，0，0，2，4，…)←(3，1，0，2，4，…)←(2，0，2，2，4，…)←(1，1，2，2，4，…)←(0，0，1，1，3，5…)，0号盒中此时为0个球，不能再倒推．所以，4号盒中原有3个球．

【例 9】 一个数列有如下规则：当数n是奇数时，下一个数是n?1；当数n是偶数时，下一个数是

n2．如

果这列数的第一个数是奇数，第四个数是11，则这列数的第一个数是 ．

【解析】 本题可以进行倒推．11的前一个数只能是偶数22，22的前一个数可以是偶数44或奇数21，44的

前一个是可以是偶数88或奇数43，而21的前一个只能是偶数42．

由于这列数的第一个是奇数，所以只有43满足．故这列数的第一个数是43．

也可以顺着进行分析．假设第一个数是a，由于a是奇数，所以第二个数是a?1，是个偶数，那

么第三个数是

a?12，第四个数是11，11只能由偶数22得来，所以

a?12?22，得到a?43，即

这列数的第一个数是43．

【巩固】 （2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）在信息时代信息安全十分重要，往往需

要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是 ．

【解析】 0～9这10个数字乘以3所得的数的个位数字互不相同是本题可以进行判断的基础．

采用倒推法，可以得到经过一次加密之后的密码是“7118”，再进行倒推，可以得到原来的明码是2009.

【例 10】 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的

一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码．当一个人选取了标号为x的筹码时，另一个人必须选取标号为99?x的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码．

99?x 【解析】 解若 x

5 47 47 13 13 43

43 7

7 23 23 19

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