猴子第一次到达A点，还有(100?x)个香蕉，回去又要消耗x个，只能留下100?2x个香蕉．这(100?2x)个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是x个，则米，猴子将在A留下60个香蕉．

那么当猴子②次到达A时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有100?y个，从⑤回③需要y个，

100?x2?．x3?x?20?XA?200可在B留下(100?2y)个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗y个．则：100?2y?y?y?至此，猴子到家时所剩的香蕉为：300?4x?2y?100010?53131003．

．

23因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了还剩下54个香蕉．

，所以还没有吃香蕉，应该

【例 19】 如右图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个公交站，为使五栋楼的居民到

车站的距离之和最短，车站应立于何处？

ABCDE

【解析】 条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下A、E两个

点，不论这个邮筒放在AE之间的那一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度，也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和；那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间.同理，只要是在BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD.最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了.那么当然也就是把邮筒放在C点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”．

【巩固】 老师可以把上题的条件变为:有A、B、C、D、E、F六栋楼，要想使居民到达车站的距离之和最

短，应该设在何处？

ABCDEF

【解析】 找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个

楼都一样，路程和最短，所以可以建在C或D .如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么CD之间及点C、D均可.

【巩固】 道路沿线有一些垃圾回收站点，现需要将每个回收站点的垃圾都运送到一个处理场(处理场也可

以设在站点上)，希望所有站点到处理场的距离总和最短．⑴若有2个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．

站点1站点2

⑵若有3个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．

站点1站点2站点3

⑶若有4个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．

站点1站点2站点3站点4

⑷若有5个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．

8-5.操作与策略.题库 教师版 page 9 of 24

站点1站点2站点3站点4站点5

⑸若有59个回收站点，请说明这个处理场应设的位置．

【解析】 ⑴站点1与站点2间的任意一点

⑵站点2

⑶站点2与站点3间的任意一点 ⑷站点3 ⑸站点30

【例 20】 (奥数网习题库)右图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学

生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千米)．现在要在五村之中选一个村建立一所小学．为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.

A403B20202C435D550E

【解析】 “小往大处靠”的原则来解决，A点向C点集中，因为根据“小往大处靠”的原则，虽然A点40

人比C点20人多，但是人最多的点是E点，所以大方向是向E点的方向靠拢．那么B点当然也要向C点靠拢．C点就有80人了.此时人数最多的点变成了C点了.D、E又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E点要向D点靠拢.此时D点变成85人了．那么D点比此时C点的80人多了.C点又变成小势力了.所以最终要集中在D点.也就是学校要设在D点. 说明：对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则．

【巩固】 (04年我爱数学夏令营试题)一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼

的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班??，第5号楼有5名职工在A厂上班．A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？

12345

【解析】 如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼的位臵，距1号楼150米处．

【巩固】 (人大附中分班考试题)在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如右图)，共有五座，图中数

字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？

10吨A30吨B20吨C10吨D60吨E

【解析】 这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E那个方向集中，集中到B,B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨.此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以.例如把E点集中到D点，D点是70吨.所以C点也要集中到D点.确定了集中地点，运输费用也就容易求了.运费最少为：(10?30?30?20?20?10?60?10)?0.9?1530(元)．

【巩固】 产地A1、A2、A3和销售地B1、B2、B3、B4都在铁路线上，位置如下图所示.已知A1、A2、A3

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的产量分别为5吨、3吨、2吨；B1、B2、B3、B4的销售量分别是1吨、2吨、3吨、4吨.试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。

【解析】 A1运往B11吨；运往B22吨；运往B32吨。A2运往B31吨；运往B42吨。A3运往B42吨。

【例 21】 某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如右图

所示），问如何调运最省汽油？

【解析】 把渣土从A运到B或把砖从C运到D，都无法节省汽油.只有设法减少跑空车的距离，才能省汽油。

解：如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了300×60＋360×40=32400（米）。如果一辆车从A→B→C→D→A跑一圈，那么每运一车渣土、再运一车砖要空车跑240+90＝330（米）.因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空车开往C运砖到D后空车返回A，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A，则运渣土任务也完成了.这时总共空车跑了330×40+300×20＝19200（米）.后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案。

【例 22】 一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，

如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）

【解析】 在人员调运时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。

五个基地人员总数为 17+4+16+14+9=60（人）依题意，调整后每个基地应各有 60÷5=12（人）。因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：先从D调2人到E，这样E尚缺1人；再由A调1人给E，则E达到要求.此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。

【例 23】 189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如何剪法最省材料？ 【解析】 显然无残料的剪法是最优方案.于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。

解：设4米长的剪x根，7米长的剪y根，依题意列方程4x＋7y＝189。 根据倍数分析法可知7｜x（即x是7的倍数）。令x1＝0，则7y＝189，解出y1=27； x2＝7，

则7y＝161，解出y2＝23； x3=14，

则7y＝133，解出y3＝19； x4=21，

则7y=105，解出y4=15； x5＝28，

则7y=77，解出y5=11； x6=35，

则7y＝49，解出y6＝7； x7=42，

8-5.操作与策略.题库 教师版 page 11 of 24

则7y＝21，解出y7=3。因此，有七种剪法都是最省材料的。

【巩固】 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原

材料几根？怎么截法最合算？

【解析】 不难想到有三种截法省料：

截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺； 截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺。 由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1.考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根.于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料2×25＝50（尺）。所以至少要用75根原材料，其中50根用截法1，25根用截法3，这样的截法最省料.

【例 24】 大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？ 【解析】 先将5千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有5-4=1(千克)油；然后将小桶倒空，

将大桶中1千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6(千克)．这道题要学会借助于大桶小桶容积的差量出想获得的中间量(1千克)．

【例 25】 (2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)下图33?32的长方形，黑色两

块是边长为1与4的磁砖，其余的部分尚未铺磁砖：、 铺磁砖的师傅说：“只需边长为7、8、9、10、14、15、18的正方形磁砖各一块(共七块)，就可以将整个长方形铺满．”试着铺铺看，并把结果图示在下图中(请用粗线标出各块的边缘，并在中心标出其边长)．

8915101814

【解析】 从右上角开始考虑，边长为1的黑色磁砖到右边的距离为9，而上面的距离为8，所以右上角放

的正方形最好是边长为8或9的正方形，尝试可知8不行，9有如下铺法： 注：这个问题来自于历史上的著名问题：“完全正方形”和“完全长方形”． 数学上所谓“完全正方形”，是指一个大正方形完全由较小的正方形所构成，且小正方形的面积都不相等．“完全长方形”，是指一个大长方形完全由较小的正方形所构成，且小正方形的面积都不相等．其中小正方形的个数称为这个“完全正方形”或“完全长方形“的阶． 这个问题中给出的例子是一个9阶的“完全长方形”，这是阶数最少的完全长方形，“完全正方形”的阶数最少为21．

模块三、染色与操作（证明） 8-5.操作与策略.题库 教师版 page 12 of 24