【例 26】 六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个
位置都叫作它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？
【解析】 建议建议教师在本讲可以以游戏的形式激发学生自主解决问题．划一个5?7的方格表，其中每一
个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格．但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到．
【例 27】 图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通．有一个人打算从A室
开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？
AA
【解析】 采用染色法．如右图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色，从白室A出发
走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A，共走过9扇门．由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室． 现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A．
【例 28】 右图是某套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出
发，不重复地走完每个房间吗?
【解析】 如图所示，将房间黑白相间染色，发现有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑格到白格或由
白格到黑 格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为1才能不重复，但图中黑格比白格多2个，所以无法实现不重复走遍．
【巩固】 有一次车展共6?6?36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图
所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?
【解析】 如右图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．由于入口处和
出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．
【例 29】 如右图，在5?5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格
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中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中?
A
【解析】 由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑
格．所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步．而小方格为5?5?25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数．于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格．
【例 30】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马．众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能
否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
【解析】 马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示：
马
先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●．因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步．现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23?22?45个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点．
讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的．但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了．从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44个点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）．因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●．也就是说，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点．
【巩固】 一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当
这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯．如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
【解析】 如右图所示:格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格点就转了多少
次弯．如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确．
A模块四、染色与操作（剪拼）
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【例 31】 有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？ 【解析】 显然每人应该分
712＝
412+
312＝+
3114．
于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分
【例 32】 右图是由14个大小相同的方格组成的图形．试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方
形？
【解析】 将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有8个黑格，6个白格．相邻两个方格必然是一黑
一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形．
【巩固】 你能把下面的图形分成7个大小相同的长方形吗？动手画一画．
【解析】 可以通过染色发现黑白方格个数相同，可以按一黑一白分成7块含有2个小方格的长方形，答案
如下（答案不唯一）：
【巩固】 有6张电影票(如右图) ，想撕成相连的3张，共有________种不同的撕法.
【解析】 形如的有2种，
形如的有8种.
所以共有2?8?10（种）
【巩固】 （难度等级 ※※※）右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？
【解析】 将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1?2的小长方形，将图形黑
白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而1?2的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到．
【巩固】 右面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问：能否把它
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们分别剪成1×2的七个小矩形.
【解析】 如右图
（1）能，黑白格数相等；（2）（3）不能，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个.
【例 33】 用9个1?4的长方形能不能拼成一个6?6的正方形？请说明理由．
123412
2341233
41234
412341
123412
234123
【解析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题．因为要用1?4来覆盖，我们对6?6正方形用四种颜
色染色．为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色．为了使每个1?4长方形在任何位臵盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图．这样，可以发现无论将1?4长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个．要不重叠地拼出6?6，需9个1?4长方形，则必然盖住
但实际上图中一共是9个1、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个1?41、2、3、4各9个．
长方形拼出6?6正方形． 【例 34】 能否用9个
所示的卡片拼成一个6?6的棋盘？
【解析】 不能．将6?6的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格．而每张卡片盖住的黑格数只能是1或
者3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住18个黑格．
【巩固】 如右图，缺两格的8?8方格有62个格，能否用31个
图不重复地盖住它且不留空隙?
【解析】 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一．用
来覆盖，则用黑白相间染色，可以
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