.

∴∠GCE=30° ∵AC=EC

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二）

证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H ∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF是正方形 ∴CG=GF ∵AP⊥FP

∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP∽△PBA ∴FG：PB=PG：AB

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D． 求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H， 连接OH、MH、EC ∵EH=FH

∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°

..

设AB=x，BP=y，CG=z

z：y=（x-y+z）：x 化简得（x-y）·y=（x-y）·z ∵x-y≠0 ∴y=z 即BP=FG

∴△ABP≌△PGF

∴EM=KM ∵EK∥BD ∴

OBAOOD?? EMAMKM∴OB=OD 又AO=CO

.

又PC⊥OC，∴∠POC=90° ∴P、C、H、O四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO

又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H、C、E、M四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM∥AC ∵EH=FH

经典题(四)

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求∠APB的度数．（初二）

AP解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ 则△BPQ是正三角形 ∴∠BQP=60°，PQ=PB=3

在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC是直角三角形 ∴∠PQC=90°

∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

..

BQC.

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线， EADP两平行线相交于点E，连接BE ∵PE∥AD，AE∥PD ∴ADPE是平行四边形 ∴PE=AD，

又ABCD是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC

又PE∥AD，AD∥BC ∴PE∥BC

∴BCPE是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三） 证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD ⌒ =CD⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∵CD

EADBC又∠ADP=∠ABP

∴∠AEP=∠ABP

∴A、E、B、P四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB

∴△BEC∽△ADC ∴

BEBC? ADACBC∴AD·BC=BE·AC……………………① ∵∠BCE=∠ACD

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE

..

.

即∠BCA=∠ECD

⌒ =BC⌒ ,∴∠BAC=∠BDC ∵BC

△BAC∽△EDC ∴

①+②得AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC

=（DE+BE）·AC =BD·AC

ABAC ?DECD∴AB·CD=DE·AC……………………②

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE 11

∴S△ADE= AE·DG，S△FDC= FC·DH

221

又S△ADE= S△FDC= S□ABCD

2∴AE·DG=FC·DH 又AE=CF ∴DG=DH

∴点D在∠APC的角平分线上 ∴∠DPA＝∠DPC

AFGP HDBEC经典题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：3≤L＜2． 证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE， ∵BP=BE，∠PBE=60° ∴△PBE是正三角形。

DGAP∴PE=PB 又EF=PC

B..

CE