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???0ql。 ???04.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。

?)解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,均为线电荷ql的

?与感应电荷的电位)?in(r,?)??(,??)i??,电位?l(r,的叠加，即?(r,?)lrnr(。线

电荷ql的电位为

qq?l(r,?)??llnR??llnr2?r02?2rr0cos? （1）

2??02??0而感应电荷的电位?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。

?(r,?)满足的边界条件为

?)??lr(?,(r)??)； ① ?(r,?)?C。 ② ?(a,由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为

?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn? （2）

n?0?将式（1）和（2）带入条件②，可得到

?ql?nAacosn??C?lna2?r02?2ar0cos? （3） ?n2??0n?0将lna2?r02?2ar0cos?展开为级数，有

1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn?

n?1nr0（4）

220?带入式（3），得

?Anacosn??C??nn?0?1a[lnr0??()ncosn?] （5） 2??0n?1nr0ql?a2nlnr0， An??() 由此可得 A0?C?2??02??0nr0qlql故导体圆柱外的电为

?(r,?)??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos?? ql1a2n(C?lnr0)?()cosn? （6） ?2??02??0n?1nr0rql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为

ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0n?1nr0r2??0ql?其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为

?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0

由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）

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a2

的线电荷ql；位于(,0)的线电荷?ql；位于r?0的线电荷ql。

r0

4.13 在均匀外电场E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；（2）导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。

解 （1）这里导体充电至U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此时导体球面上的电荷密度???0U0a，总电荷q?4??0aU0。将导体球放入均匀外电场E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。

设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中

?0(r,?)??E0z??E0rcos?

是均匀外电场E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为

??Es① r??时，?(r,?)； 0rco?????dS?q r?a?(a,?)?C 0②时，?0，?rS其中C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。

?2?1由条件①，可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??B1r?C1

3代入条件②，可得到 A1?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0

3?2?1若使C0?U0，可得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??aU0r

（2）导体上充电荷Q时，令Q?4??0aU0，有 U0?Q4??0a

3?2利用（1）的结果，得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??Q4??0r 4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0?ezE0，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。

解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界条件为

① r??时，?2(r,?)??E0rcos?；

?)② r?0时，?1(r,为有限值；

????③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?01??2

?r?r由条件①和②，可设

?1(r,?)??E0rcos??A1rcos?

?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?

带入条件③，有

aA1a?A2a?2oz??0 ??0E0??0A1???E0?2?a?3A2 E0

，

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题4.14图