E???8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．
1?Upsin??r??4π?0r3
?2，证: 如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，
?3，?4
题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有
???E?dS?(?2??3)?S?0s
∴ ?2?3 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
??0?1?2?3?4????02?02?02?02?0
??0
又∵ ?2?3∴ ?1??4
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0
2
mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问
-7
B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
题8-22图
(1)∵ ∴
UAC?UAB，即
EACdAC?EABdAB
?1EACdAB???2EABdAC∴ ?2
且 ?1+?2?qAS
qA2q,?1?A3S 3S 得
2qC???1S??qA??2?10?7C 3而
qB???2S??1?10?7C?2?
UA?EACdAC?(2)
?1dAC?2.3?103?0V
8-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计
算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
题8-23图
U???R2???E?dr??(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：
qdrq?R24π?r24π?0R 04π?0R24π?0R2
(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q?(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
U?q?q?0UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?04π?0R2
q??得 外球壳上电势
R1qR2
q'4π?0R2??q?q'?R1?R2?q?24π?0R24π?0R2
d?3R处有
UB?q'4π?0R2?8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势
UO?0
8-24图
由电势叠加原理有：
得
8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
q'q??0UO?4π?0R4π?03R
qq???3Fq2F0?4π?0r2 解: 由题意知
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
qq??2,
小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
3q???q4
∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
32qq'q\38F1???F0228 4π?0r4π?0r2q(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为3.
22qq4F2?332?F04π?0r9 ∴ 小球1、2间的作用力
*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势
UA=U，UB=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面
积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
?2，解: 依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为?1，?3，?4,?5,?6如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UAB?U可得以下6个方程
题8-26图
?0UqA1?
?????CU?20?1
SSd
?
?????q
4
?3S?
?????qB???0U
6
?5Sd?????0
3?2
??4??5?0?
??1??2??3??4??5??6
q?1??6?2S 解得
?Uq?2???3?0?d2S ?Uq?4???5?0?d2S
?UqE2?4???0d2?0S 所以CB间电场
UC?UCB?E2UC?d1qd?(U?)222?0S
UUUC?2，若C片不带电，显然2 注意：因为C片带电，所以
8-27 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常
数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理
S???D?dS??q
(1)介质内(R1?r?R2)场强
???Qr?QrD?,E内?34πr4π?0?rr3;
介质外(r?R2)场强
??Qr?QrD?,E外?4πr34π?0r3 U??? (2)介质外(r?R2)电势
rU??
?r?????E内?dr??E外?drrQ4π?0r
介质内(R1?r?R2)电势
??E外?dr?