拜年拜年拜年拜年拜年2.3.2 离散型随机变量的方差

课时过关·能力提升

基础巩固

1.若X的分布列如下表所示,其中p∈(0,1),则( )

X P

0 p

1 q

A.E(X)=p,D(X)=pq B.E(X)=q,D(X)=pq C.E(X)=p,D(X)=1-p2 D.E(X)=q,D(X)=1-p2

解析:由分布列知随机变量X服从两点分布,

所以E(X)=q,D(X)=pq. 答案:B 2.已知ξ的分布列为

ξ P -1 0 1 若η=2ξ+2,则D(η)的值为( )

A.-

B

C D 解析:E(ξ)=-1 +0 +1 =- ,

D(ξ)= - , 和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年则D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)=

答案:D 3.已知随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,则p等于( )

A

B

C D 解析:根据服从二项分布的随机变量均值和方差的计算公式,可得np=7,np(1-p)=6,解得p=

答案:A 4.已知随机变量ξ的分布列如下,若E(ξ)=

,则D(ξ)等于( )

ξ 1 2 3 P 0.5 x y A

B C D 解析:由分布列性质,得x+y=0.5.

∵E(ξ)= y= ,∴2x+3 ,解得

∴D(ξ)= -

- -

答案:B 5.盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个,以ξ表示取到的白球个数,η表示取到的黑球个数,则(A.E(ξ)=E(η),且D(ξ)=D(η) B.E(ξ)=3-E(η),且D(ξ)=3-D(η) C.E(ξ)=E(η),且D(ξ)=3-D(η) D.E(ξ)=3-E(η),且D(ξ)=D(η)

和任何人呵呵呵 ) 拜年拜年拜年拜年拜年解析:∵ξ+η=3,∴η=3-ξ,∴E(η)=3-E(ξ),且D(η)=(-1)2D(ξ)=D(ξ),故选D. 答案:D 6.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ,η,ξ和η的分布列分别为

ξ P 0 1 2

η P 0 1 2 甲、乙两名工人的技术水平较好的为( ) A.一样好 C.乙

B.甲 D.无法比较

解析:工人甲生产出次品数ξ的均值和方差分别为:

E(ξ)=0 +1 +2 =0.7,

D(ξ)=(0-0.7)2 +(1-0.7)2 +(2-0.7)2 =0.81. 工人乙生产出次品数η的均值和方差分别为:

E(η)=0 +1 +2 =0.7,

+(1-0.7)2 +(2-0.7)2 =0.61. D(η)=(0-0.7)2

由E(ξ)=E(η)知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D(ξ)>D(η),可见乙的技术比较稳定. 答案:C

7.若随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)= ,P(ξ=n)=a,若E(ξ)=2,则D(ξ)的最小值等于( )

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年A.0 C.4

B.2 D.无法计算

解析:在分布列中,概率和为1,

则a+=1,故a=

∵E(ξ)=2, ∴m=6-2n.

=2,

∴D(ξ)= (m-2)2+ (n-2)2= (n-2)2+ (6-2n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2. ∴当n=2时,D(ξ)取最小值0.

答案:A 8.若p为非负实数,随机变量X的分布列为

X P 0

1 p 2 -p

则E(X)的最大值是 ,D(X)的最大值是 .

解析:由分布列性质可知p ,

则E(X)=p+1 ,故E(X)的最大值为

又D(X)= - (p+1)2+p(p+1-1)2+ (p+1-2)2=-p2-p+1=- ,

∵p ,

∴当p=0时,D(X)取得最大值1.

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年答案: 1

9.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反野生动物保护条例的事件次数的分布列分别为 甲:

ξ P 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 乙:

η P 0 0.1 1 0.5 2 0.4 试评定这两个保护区的管理水平.

解:甲保护区违规次数ξ的均值和方差为E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,

D(ξ)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区违规次数η的均值和方差为

E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.

因为E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.

能力提升

1.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,设ξ为途中遇到红灯的次数,则随机变量ξ的方差为

( )

A

B

C

D

解析:由随机变量ξ服从二项分布,

即ξ~B ,可得D(ξ)=3

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年答案:B 2.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p= 时,成功次数的标准差的最大值为 .

-

解析:D(ξ)=np(1-p)≤n

,等号在p=1-p,即p= 时成立,此时,D(ξ)=25, =5.

答案: 5

3.随机变量ξ的分布列为

ξ P

-1 a 0 b 1 c 其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)= ,则D(ξ)= . 解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.

∵E(ξ)= ,∴-a+c= ,且a+b+c=1,

-

得 - 解得

∴D(ξ)= - - - -

答案: 4.盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,以X表示取到白球的个数,η表示取到黑球的个数.给出下列各项:

①E(X)= ,E(η)= ;②E(X2)=E(η);

③E(η2)=E(X);④D(X)=D(η)=

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年其中正确的是 .(填上所有正确项的序号) 解析:X的分布列为

X P 0

1 2 E(X)=0

+1 +2

, E(X2)=02

+12 +22 ,

D(X)=E(X)-(E(X))η的分布列为

22

=

η P 1 2 3 E(η)=1

+2 +3 ,

E(η2)=12 +22 +32 ,

D(η)=E(η2)-(E(η))2= 答案:①②④

5.某同学向如图的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30 cm,20 cm,10 cm,飞镖落在不同区域的环数如图.设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X,求X的分布列、均值和方差.

解:由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和形状无关.

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1,面积比为9∶4∶1,所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5∶3∶1,则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k,k,根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1,得到离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.1 8 0.5 9 0.3 10 0.1

X的均值E(X)=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7.

D(X)=0.1×(0-7.7)2+0.5×(8-7.7)2+0.3×(9-7.7)2+0.1×(10-7.7)2=7.01.

★6.为了迎战下届奥运会,对甲、乙两名射手进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设ξ,η分别表示甲、乙每次击中的环数. (1)求ξ,η的分布列;

(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术. 解:(1)依据题意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.

∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, ∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. ∴ξ,η的分布列分别为

ξ P 10 0.5 9 0.3 8 0.1 7 0.1

η P 10 0.3 9 0.3 8 0.2 7 0.2

(2)结合(1)中ξ,η的分布列可得: E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,

D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96, D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.

∵E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高.

又D(ξ)

降水量X 工期延误天数Y X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求: (1)工期延误天数Y的均值与方差;

(2)在降水量至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率. 解:(1)由已知条件有

P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列为

Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,

D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.

(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.

由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=

故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是

和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年

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和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年

和任何人呵呵呵