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试题分析：(Ⅰ)求出切线方程为y??1?a?x?a?1，由切线不过第四象限且不过原点即斜2x2?2x?a（?x）?（x＞0）率大于0，在y轴上的截距大于0得解；（Ⅱ）可求得g，设

x，利用（在[1（hx）?x2?2x?a（x＞0）gx），e]上不单调，可得（）h1（he）＜0，从而可求得3＜a＜e2?2e，再利用条件（仅在x?e处取得最大值，可求得（gx）ge）＞（）g1，两者联立即可求得a的范围． 试题解析：(Ⅰ)f'?x??x?a1，f'?1??1?a，f?1??………………2分 x21??1?a??x?1?，即2所以函数f?x?图像在?1,f?1??的切线方程为y?y??1?a?x?a?1，……………3分 2由题意知1?a?0，a?1?1??0，a的取值范围为?,1?，………………5分 2?2?

考点：利用导数研究函数在某点处的切线方程；利用导数求函数闭区间上的最值. 【思路点晴】本题考查利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查构造函数与转化思想的综合运用，属于难题；利用导数来求曲线某点的切线

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方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.

x2y2221.(本小题满分12分)已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率e?,以上顶点和右焦点

2ab为直径端点的圆与直线x?y?2?0相切． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)对于直线l:y?x?m和点Q?0,3?,是否椭圆C上存在不同的两点A与B关于直线l对称,且3QA?QB?32,若存在实数m的值,若不存在,说明理由．

x21【答案】(Ⅰ) ?y2?1；(Ⅱ)存在，.

23c2c212试题解析：(Ⅰ)由椭圆的离心率e?得2?2，得b?c………………1分 ?2ab?c22上顶点为?0,b?，右焦点为?b,0?，

b??b??a?b2?以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为?x????y??????，

2??2??2?2?222所以

b?22?2b，b?2?b，b?c?1，a?2，………………3分 2x2椭圆的标准方程为?y2?1………………4分

2(Ⅱ)由题意设A?x1,y1?，B?x2,y2?，直线AB方程为：y??x?n.

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?y??x?n?22联立?x2消整理可得：3x?4nx?2n?2?0，………………5分 y2??y?1?2由????4n??122n2?2?24?8n2?0，解得?3?n?3………………6分

2??2n2?24n，x1x2?， x1?x2?33设直线AB之中点为P?x0,y0?，则x0?由点P在直线AB上得：y0??又点P在直线l上，

x1?x22n，………………7分 ?232nn?n?， 33n?33?n2nm????,，所以……①………………9分 ??m????33333??又QA??x1,y1?3?，QB??x2,y2?3?，?QA?QB??x1x2??y1?3??y2?3??3232 ??x1,y1?3???x2,y2?3??3332?n2?2n?3?9m2?6m?3?3?3m?1??m?1??0 21解得：m?或m??1……②………………11分

31综合①②，m的值为.………………12分

3考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合. a22.（本小题满分12分）f?x???x2??a?1?x?lnx．

21(Ⅰ)若a??,求函数f?x?的单调区间；

2(Ⅱ)若a?1,求证:?2a?1?f?x??3ea?3

【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为：?0,1?，?2,???，单调递减区间为：?1,2?；(Ⅱ)证明见解析.

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试题解析：(Ⅰ)f?x??'123x?x?lnx，x?0， 42131x2?3x?2?x?2??x?1?则f?x??x???，………………1分 ?22xxxf'?x??0的解集为?0,1?，?2,???：f'?x??0的解集为?1,2?，………………2分

?函数f?x?的单调递增区间为：?0,1?，?2,???，

函数f?x?的单调递减区间为：?1,2?：………………4分 (Ⅱ)证明：a?1，故由f'?x????ax?1??x?1?x可知，在?0,1?上f'?x??0，函数f?x?单

调递增，在?1,???f'?x??0，f?x?单调递减，?f?x?在x?1时取极大值，并且也是最大值，1即f?x?max?a?1………………7分

2?1?又2a?1?0，??2a?1?f?x???2a?1??a?1?，………………8分

?2?设g?a???2a?1???1?a?1??2?ea?3，g?a?'2a???2?9a?7?2ee?3???a?1??2a?7?2ea?3，………………9分

?7??7??g?a?的单调增区间为?2,?，单调减区间为?,???，?

?2??2??7?g?a??g????2?2e?3，?6?e934?9，………………10分 12e2?9?3，?g?a??3，ea?3?0， 32e??2a?1?f?x??3ea?3………………12分

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数在闭区间上的最值.

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