角动量守恒 mv01lmv0l??J? J?Ml2 2223ll14?3mv0 mv0?Ml2? ??124Ml43Ml3mv0112?3mv0?l1122l机械能守恒?Ml??Mg ?Ml???Mg
232232?4Ml? v0224M16M2lv??g 0m3m2gl 35.一根长为l、质量为 M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为 m?1M的子弹以水平速度v0射入棒的下端,并留在棒里。此后棒的最大偏转角恰为6角动量守恒
60°,求v0。
v11mv0l?(ml2?Ml2)?m?M??0
3l 36
机械能守恒
11l(ml2?Ml2)?2?Mg(1?cos600)?mgl1?cos600232??
v0?23gl
6、如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为l和
132l.轻杆原来静3止在竖直位置。今有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端小球
1m作对心碰撞,碰后以v0的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角
2速度。
解:角动量守衡
22ll21mv0l?()2m??()2?2m??ml?v0 33332??3v0 2l
第四章振动与波动
振动部分:习题4.2、4.4、4.5
习题4.2一物体沿x轴做简谐运动,振幅为0.06 m,周期为2.0 s,当t = 0时位移为0.03m,且向x轴正方向运动。求:(1)t = 0.5 s时,物体的位移、速度和加速度;(2)物体从x = ?0.03m 处向x轴负向运动开始,到平衡位置,至少需要多少时间?
解: (1)由题意知A = 0.06m、??2?T??s?1由旋转矢量(a)图可确定初相则?0???3,振动方程为
?1 x?(0.06m)cos?(?s)t??3???
习题4.2 (b) 图
习题4.2 (a) 图
当t = 0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为
x?(0.06m)cos(?2??3)?0.052mv?dxdt??(0.06?m?s?1)sin(?2??3)??0.094m?s?1a?d2xdt2??(0.06?2m?s?2)cos(?2??3)??0.513m?s?2
(2)质点从x =?0.03 m运动到平衡位置的过程中,旋转矢量从(b)图中的位置M转至位置N,矢量转过的角度(即相位差)???5?6。该过程所需时间为
?t?????0.833s
习题4.4 某质点振动的x-t曲线如题图所示.求:(1)质点的振动方程; (2)质点到达P点相应位置所需的最短时间.
解:(1)设所求方程为:x=Acos(ωt+φ)0从图中可见,t=0,x0=A/2,v0>0由旋转矢量法可知;φ0=-又t=1s,ωt-5π65πt-π)mπ3=π2π3?ω=
习题4.4图
63(2)P点的相位为0??t??0?5?故:x=0.1cos(t??0t?0.4spp6p3即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s?习题4.5一质点沿x轴作简谐振动,振幅为12cm,周期为2s。当t?0时, 位移为6cm,且向x轴正方向运动。求:(1)振动表达式;(2)t?0.5s时,质点的位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于x??6cm,且向x轴负方向运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解:由题已知 A=12×10-2m,T=2.0 s ∴ ω=2π/T=πrad·s-1
?又,t=0时,x0?6cm,v0?0 ∴由旋转矢量图,可知:?0??
3(?t?)故振动方程为x?0.12cos
3 (2)将t=0.5 s代入得
?x?0.12cos(?t?)?0.12cos?0.103m
36v??0.12?sin(?t?)?0.12cos??0.189m/s 36a??0.12?2cos(?t?)??0.12?2cos??1.03m/s2 36??????方向指向坐标原点,即沿x轴负向.
(3)由题知,某时刻质点位于x??6cm,且向x轴负方向运动
即x0=-A/2,且v<0,故?t=2π/3,它回到平衡位置需要走5π/6,所以: ∴t=Δ?/ω=(5π/6)/(π) =5/6s
习题4.5图
(加题)1.有两个同方向同频率的振动,其合振动的振幅为0.2m,合振动的相位与第一个振动的相位差为?/6,第一个振动的振幅为0.173m,求第二个振动的振幅及两振动的相位差。
分析 根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。 解:采用旋转矢量合成图求解
取第一个振动的初相位为零,则合振动的相位为???/6 据A?A1?A2可知A2?A?A1,如图:
A2?A1?A2?2AA1cos??0.1(m)
由于A、A1、A2的量值恰好满足勾股定理, 故A1与A2垂直.
即第二振动与第一振动的相位差为???/2
(加题)2.一质点同时参与两个同方向的简谐振动,其振动方程分别为
题图5-26
2x1?5?10?2cos(4t??/3)(SI),x2?3?10?2sin(4t??/6)(SI)画出两振动的旋转矢量图,
并求合振动的振动方程.
分析 须将方程转化为标准方程从而确定其特征矢量,画出矢量图。 解:x2?3?10?2sin(4t??/6)