解 设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3

?－a＋3<－1，?

从而有A?B.故?解得a>4.

?a＋3>5，?

等价转化思想在充要条件关系中的应用

x－1???典例：(12分)已知p：?1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且p是q的必要而不充分条件，求实

3??数m的取值范围．

审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．

(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答

解 方法一 由q：x2－2x＋1－m2≤0， 得1－m≤x≤1＋m，

∴?q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}， 由p：?x?1－－13?

?≤2，解得－2≤x≤10，

∴?p：B＝{x|x>10或x<－2}．

∵?p是?q的必要而不充分条件． ?m>0，∴A?B，∴?

?1－m<－2，

??1＋m≥10，

?m>0，或?

?1－m≤－2，??1＋m>10，

即m≥9或m>9.∴m≥9.

方法二 ∵?p是?q的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件， 由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，

∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由p：?x－1?

1－3?

?≤2，解得－2≤x≤10，

∴p：P＝{x|－2≤x≤10}． ∵p是q的充分而不必要条件， ?m>0，?∴P?Q，∴?

?1－m<－2，

或?

m>0，??1－m≤－2，?1＋m≥10，

?

?1＋m>10，

即m≥9或m>9.∴m≥9. 答题模板

[2分] [3分] [5分] [6分]

[12分]

[2分] [4分] [6分] [12分]

第一步：求命题p、q对应的参数的范围． 第二步：求命题p、q对应的参数的范围．

第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”． 第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．

答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点. 温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.

??

方法与技巧

1． 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．

2． 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．

3． 命题的充要关系的判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q,若q则p的真假．

(2)等价法：利用A?B与B?A，B?A与A?B，A?B与綈B?A的等价关系，对于条件或结论

?????是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 失误与防范

1． 判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．

2． 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．

A组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

π1． (2012·湖南)命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是

4π

A．若α≠，则tanα≠1

4π

C．若tanα≠1，则α≠

4

( C )

π

B．若α＝，则tanα ≠1

4π

D．若tanα≠1，则α＝

4

π

解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠.

42． (2012·福建)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是 ( D ) 1A．x＝－

2

B．x＝－1 C．x＝5

D．x＝0

解析 ∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)， ∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.

又a⊥b?a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.

3． 已知集合M＝{x|0

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 因为MN，所以a∈M?a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．故选B.

4． 下列命题中为真命题的是( A ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

?y y≥0?

解析 对于A，其逆命题：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|＝?

?－y y<0?

，必有x>y；对

于B，否命题：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题：若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 下列命题： ①若ac2>bc2，则a>b； ②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是①③④．

?150°解析 对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°则30°，所以②错误；对于③，

l1∥l2?A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a?a＝0且A1C2≠A2C1，所以③对；对于④显然对．

6． 已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为[3,8)． 解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0， 解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0， 解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.

7． (2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝3或4 ．．解析 ∵x2－4x＋n＝0有整数根， 4±16－4n

∴x＝＝2±4－n，

2

∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4. 当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3； 当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2. ∴n＝3或n＝4. 三、解答题(共22分)

8． (10分)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根． 逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0. 判断如下：

1

∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0，

4∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．

9． (12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

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