因为cosMPN2?1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，MN?4,由余弦定理有
22
MN?PM?PN?2PMgPNcosMPN. ②
将①代入②，得 42?PM?PN?2(PMgPN?2).
22x2?y2?1上. 故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线3x2y2??1，所以 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足95?33x??,22???5x?9y?45,?2
由方程组? 解得?22??x?3y?3.?y??5.??2 即P点坐标为
(335335335335,)、（，-）、（-，）或（?，-）. 22222222问题九：四点共线问题
x2y2例题10、（08安徽理）设椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M(2,1)，且着焦点为F1(?2,0)
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点总在某定直线上
22解 (1)由题意：
A,B时，在线段AB上取点Q，满足
uuuruuuruuuruuurAPgQB?AQgPB，证明：点Q
?c2?2?x2y2?2122??1 ?2?2?1 ，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为 42?ab222?c?a?b?(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)。
由题设知
uuuruuurAPAQuuuruuuruuuruuurAP,PB,AQ,QB均不为零，记??uuur?uuurPBQB,则??0且??1
uuuruuuruuuruuur又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB,AQ??QB
于是 从而
4?x1??x2， 1?1??x??x2x?1， y?1??y1??y2
1??y1??y2
1??
2x12??2x2?4x，LL1??2（1）
2y12??2y2?y，LL1??2（2）
又点A、B在椭圆C上，即
22x12?2y12?4,LL(3) x2?2y2?4,LL(4)
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4s?2y即点Q(x,y)总在定直线2x??4
y?2?0上
3x2y2例题1、已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点。 （1）若椭圆的离心率为
3ab段AB的长； （2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e?[，焦距为2，求线
12,]时，求椭圆的长轴长的最大22值。
x2?y2?1的左、右焦点。（07四川理）设F1、F2分别是椭圆（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF24值；（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知a的最大值和最小
，求直线l的斜率k的取A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点）
?2,b?1,c?3 所以F1??3,0,F2??3,0?，设P?x,y?，则
x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44uuuruuuurPF1?PF2??3?x,?y,????222uuuruuuur因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2
uuuruuuur当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1
解法二
设椭圆E:
x2y2??1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点， a2b2（I）求椭圆E的方程；
uuuruuur（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB
|的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E:
x2y2??1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点, a2b2?42?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?椭圆E的方程为
2611184?b?4???1?????a2b2?b24（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
uuuruuurA,B,且OA?OB,设该圆的切线方程为
?y?kx?m?22222得x?2(kx?m)?8,即(1?2k)x?4kmx?2m?8?0, y?kx?m解方程组?x2y2?1??4?8则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k2?m2?4?0
4km?x?x??12??1?2k2?2?xx?2m?812?1?2k2?k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k222,
uuuruuur要使OA?OB,
2m2?8m2?8k23m2?822222??0k??03m?8k?8?08k?m?4?0,需使x1x2?y1y2?0,即,所以,所以又221?2k1?2k8?m2?22682所以?,所以m?,即m?233?3m?8或m??263,因为直线
y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
26m2m28r???为r?,r?,
3m2?8331?k21?k21?82m,所求的圆为
x2?y2?83,此时圆的切线
y?kx?m都满足
26m?326或m??326,而当切线的斜率不存在时切线为x??32626x2y2,?)或??1的两个交点为(与椭圆3384E恒有两个交点
uuuruuur26268(?,?)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?，使得该圆的任意一条切线与椭圆
333uuuruuurA,B,且OA?OB. 4km?x?x??12??1?2k2因为?2?xx?2m?812?1?2k2?24km22m2?88(8k2?m2?4))?4??, 所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?,
1?2k21?2k2(1?2k2)222|AB|?(x1?x2)??y1?y2?28(8k2?m2?4)?(1?k)(x1?x2)?(1?k)(1?2k2)2222
324k4?5k2?132k2???[1?4],
34k4?4k2?134k?4k2?1①当k?0时|AB|?321[1?]
1324k?2?4k因为4k2?111所以, ?4?80??1k2824k?2?4k所以
2432321时取”=”. 6?|AB|?23当且仅当k???[1?]?12, 所以123334k2?2?4k463.
② 当k?0时,|AB|?③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(2626262646,?)或(?,?),所以此时|AB|?33333,
446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点
综上, |AB |的取值范围为
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。
x2y2解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0),焦距为2c，
ab由题设条件知，a2?8,b?c, 所以b2?12a?4. 2x2y2??1 . 故椭圆C的方程为84（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x??4,所以点P的坐标(?4,0)，
y?k(x?4)。
显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为
如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点为G(x0,y0)，