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文章发布时间 : 2024/5/18 15:50:04星期六

第一部分专项同步练习

第一章行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n阶排列j1j2?jn的逆序数是k, 则排列jn?j2j1的逆序数是( (A)k (B)n?k (C)

n!n(n2?k (D)?1)2?k3. n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有( )项.

(A) 0 (B)n?2 (C) (n?2)! (D) (n?1)!

00014．

00100100?( ).

1000(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

00105.

01000001?( ).

1000(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

2xx?116．在函数f(x)??1?x1232?x3中x3项的系数是( ).

0001 (A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

). 1

a11a12 a22a32a13a23?a337. 若D?a21a311，则D1?2a2122a312a11a13 a23a33a11?2a12a21?2a22? ( ). a31?2a32 (A) 4 (B) ?4 (C) 2 (D) ?2 8．若

a11a12a21a22?a，则

a12a11ka22ka21? ( ).

(A)ka (B)?ka (C)k2a (D)?k2a

9．已知4阶行列式中第1行元依次是?4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为

?2,5,1,x, 则x?( ).

(A) 0 (B)?3 (C) 3 (D) 2

?8610. 若D?14307?213410431?701，则D中第四行元的余子式的和为( ). 03?1，则D中第一行元的代数余子式的和为( ). 15(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

1111. 若D?0?153?22(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

?x1?x2?kx3?0?12. k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0有非零解.

?kx?x?x?023?1( )

(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

二、填空题

1. 2n阶排列24?(2n)13?(2n?1)的逆序数是2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

4．若一个n阶行列式中至少有n2?n?1个元素等于0, 则这个行列式的值等于

11105. 行列式

0101?01110010.

006．行列式

1002??00.

????000?n?1n00?0a11?a1(n?1)a21?a2(n?1)7．行列式

??an1?a11a12 a22a32a1n00a11a13?3a12 3a12a23?3a22a33?3a323a22?3a32?.

0a138．如果D?a21a31a23?M，则D1?a21a33a31.

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

1?1?1x?1?11111??1x?111x?1?1?1?1?11??10．行列式

11x?1.

11．n阶行列式

1?????1.

?1??12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为

123413．设行列式D?5678，A4j(j?1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，

43218765则4A41?3A42?2A43?A44?abcac.

14．已知D?cbabbacacbd， D中第四列元的代数余子式的和为.

123415．设行列式D?3344??6，A4j为a4j(j?1,2,3,4)的代数余子式，则

15671122A41?A42?，A43?A44?.

1116．已知行列式D?13250?2n?1?00，D中第一行元的代数余子式的和为

03????100?n.

?kx1?2x217．齐次线性方程组??x3?0?2x1?kx?0仅有零解的充要条件是.

?2?x1?x2?x3?0?18．若齐次线性方程组?x1?2x2?x3?0?2x2?5x3?0有非零解，则k=.

???3x1?2x2?kx3?0

三、计算题

abcd2b2c2d2xyx?y1.

aa3b3c3d3; 2．yx?yx；b?c?da?c?da?b?da?b?cx?yxy

xa1a2?an?201x1a1xa2?an?23．解方程101xa1a2x?x110?0； 4．an?2????1x10a1a2a3?xa1a2a3?an?1 ；

11111a015. 111a111a2?1?1?1(aj?1,j?0,1,?,n)； ???111?an 111?131?b1?16. 112?b?1

???111?(n?1)?b

111?1b1a1a1?a17. b1b2a2?a2； ???b1b2b3?an

1?x21x1x2?x1xn9.

x2x11?x22?x2xn??; xnx1xx2n2?1?xn

1?aa000?11?aa0011．D?0?11?aa0.

00?11?aa000?11?a

xa1a2?ana1xa2?an8．a1a2x?an; ???a1a2a3?x210?00121?0010. 012?00????000?21000?12

四、证明题

1a21b2?a2?ab1a1111．设abcd?1，证明：

b2b?0. c2?1c2c1c1d2?1d2d1d1

a1?b1xa1x?b1c1a1b1c12．a2?b2xa2x?b2c2?(1?x2)a2b2c2. a3?b3xa3x?b3c3a3b3c3

11113．abcda2b2c2d2?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d).

a4b4c4d4

11?1a1a2?ann4．

a21a22?a2n????ai).

i?11??(aj?aii?j?nan?21an?2n?22?anan1an2?ann

1115．设a,b,c两两不等，证明abc?0的充要条件是a?b?c?0. a3b3c3

参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A B C D B B 二．填空题

1.n; 2.“?”; 3.a14a22a31a43; 4.0; 5.0; 6.(?1)n?1n!; 7.(?1)n(n?1)2a1na2(n?1)?an1; 8.?3M; 9.?160; 10.x4; 11.(??n)?n?1; 12.?2;

n113.0; 14.0; 15.12,?9; 16.n!(1??); 17.k??2,3; 18.k?7

k?1k三．计算题

1．?(a?b?c?d)(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)； 2. ?2(x3?y3)； 3. x??2,0,1; 4.

nn?(x?ak?1n?1k)

?(ak?1)(1??k?01); 6. ?(2?b)(1?b)?((n?2)?b);

k?0ak?1nn7. (?1)n?(bk?1nk?ak); 8. (x??ak)?(x?ak);

k?1k?19. 1??xk; 10. n?1;

k?1n11. (1?a)(1?a2?a4). 四. 证明题 (略)

第二章矩阵

一、单项选择题

1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)

A2?A2(b)

A2?B2?(A?B)(A?B) (c)

(A?B)A?A2?AB

(d)(AB)T?ATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。

(a) AB =BA (b) A?0 (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA?( )。 (a) kA (b)

kA (c) knA (d)

n4.设A为n阶方阵，且A?0，则( )。

(a) A中两行(列)对应元素成比例 (b) A中任意一行为其它行的线性组合

7. 设A为3阶方阵,行列式A?1,A*为A的伴随矩阵,则行列式

(2A)?1?2A*?( )。 (a) ?278278 (b) ? (c) (d) 8278279

8. 设A，B为n阶方矩阵,A2?B2,则下列各式成立的是( )。

(a) A?B (b) A??B (c) A?B (d) A?B 9. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( )。

(a) A?B?A?B (b) AB?BA (c) AB?BA (d) A?B 222210.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a）2A?2AT (b) (2A)?1?2A?1

?a11a12a13??a11?3aa12?3a32a13?3a33?11.如果A??aaa?2122a??3123???a22a?23?，则A?（?a31a32a33???21?a31a32a33???100??10?3??00?3??1 （a）??010?? (b) ??010?? (c) ??010?? (d) ?001????301????001????101????0?3?131?12.已知A???220??，则（）。

??311?? （a）AT?A (b) A?1?A*

?100??113??100??113? （c）A??001?????202?? （d）??001??A???202??

??010????311????010????311??13.设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABC?I，则（）。

（a）ACB?I （b）CAB?I （c）CBA?I （d）BAC?I 14.设A为n阶方阵，且|A|?0，则（）。（a）A经列初等变换可变为单位阵I

（b）由AX?BA，可得X?B

）。 0?0?? 1??

（c）当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时，有A?1?B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设A为m?n阶矩阵，秩(A)?r?m?n，则（）。

（a）A中r阶子式不全为零（b）A中阶数小于r的子式全为零

?Ir（c）A经行初等变换可化为??0?0?? （d）A为满秩矩阵 ?0?16.设A为m?n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B?AC，则( )。 (a)秩(A)> 秩(B) (b) 秩(A)= 秩(B)

(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n，一个等于n

18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是( )。

(a)r(A)?r?n (b) A的列秩为n

(d)对任何n维非零向量X，均有AX?0

二、填空题

1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2?I,则行列式A?_______

0ab2.行列式?a0c?_______

?b?c0 11

?101???3.设2A??020?，则行列式(A?3I)?1(A2?9I)的值为_______

?001?????4.设A?????1232?3??2?，且已知A6?I，则行列式A11?_______ 1??2?5.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且A?3，则A*?_______ 6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______

?a1b1??ab7.非零矩阵?21???ab?n1为_______

a1b2?a1bn??a2b2?a2bn?的秩为________

?????anb2?anbn??8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX?0，则A的秩

9.若A?(aij)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是_______

10.若方阵与相似，则_______ 4IA?A2K??1?K?K?12??_______ 11.lim?K???11???3K??K?1??212.lim?0n?????0???12??11??_______ ?31?0??4?n三、计算题

1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).

?223??22??010??13?20?????????1) ? ； 2) 1?10X?32100X?2?1????????????121??0?2??001???11??10????????? ；?310?3) X(I?B?1C)TBT?I,其中B???404?? ； C??101?212? ??422??????121??? ；?101?4) AX?A2?X?I,其中A???020???

?101??；?423?5) AX?A?2X,其中A???110????123???；

2.设A为n阶对称阵,且A2?0,求A.

?1?103.已知A????021???,求(A?2I)(A2?4I)?1.

?10?1??4.设A?12?A2??01??A2???34?,?23??A3???00?,?00??A4???12??A11??,,求?01????A3A?4?.

?5.设A??112??224??,求一秩为2的方阵B,使AB?0.

??336???211??011?6.设A???101??,B???121??,求非奇异矩阵C,使A?CTBC.

??110????110??7.求非奇异矩阵P,使P?1AP为对角阵.

?11?2??21??? 1) A??? 2) A???1?31??12???20?1???

8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(?1,1,0)T,(?2,1,1)T,求矩阵A.

?5?32??1009.设A??,求. 6?44A???4?45???

四、证明题

1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆. 2. 设Ak?0(k为整数), 求证I?A可逆. 3.设a1.a2,Ak?a1Ak?1?,ak为实数,且如果ak?0,如果方阵A满足?ak?1A?akI?0,求证A是非奇异阵.

4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA. 5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵. 6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案

一：1. a；2. b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.

二．1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. ?ai4?ai8；

i?115?02?10. I；12. 0；11. ??00??.

????100?三、1.1）、??13?2?160??1????22）、?；?2??1???2?130???1?4?3??201??????1?5?3030；3）、；4）、 ????；???16??102??4??????0??1?21??31??3?8?6??0????01?21??5）、?2?9?6?. 2. 0；3. ??1?3?1?；?? 001?2??212?9??0?；10?????4.??0001?????3?1?1??010??11?3?????????11?11?不唯一；6.?100?；7. 5.?11）、??11??. 2)、??211?；

???1?001??122?00????????3100?（20?22100?1）2?2100?31003100?1??3????10010010010010022?3）?44?2?（23）（23?1）8.??100?；9.?（?. ??100100100??1?11?（23?1）（21?3）（23）?1????

第三章向量

一、单项选择题

1. ?1,?2,?3， ?1,?2都是四维列向量，且四阶行列式

?1?2?3?1?m,?1?2?3?2?n,则行列式

?1?2?3?1??2?()

(a)m?n (b)m?n (c)?m?n (d)?m?n2. 设A为n阶方阵，且A?0,则（）。

(a)A中两行（列）对应元素成比例 (b)A中任意一行为其它行的线性组合 (c)A中至少有一行元素全为零 (d)A中必有一行为其它行的线性组合

3. 设A为n阶方阵，r(A)?r?n，则在A的n个行向量中（ (a)必有r个行向量线性无关

(b)任意r个行向量线性无关

(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组

(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示

4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（）

(a)r(A)?r?n (b)A的列秩为n

。

）

（c）A的每一个行向量都是非零向量（d）A的伴随矩阵存在

5. n维向量组?1,?2,??,?s线性无关的充分条件是( )

(a)?1,?2,??,?s都不是零向量

(b)?1,?2,??,?s中任一向量均不能由其它向量线性表示 (c)?1,?2,??,?s中任意两个向量都不成比例 (d)?1,?2,??,?s中有一个部分组线性无关

6. n维向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是( )

(a)?1,?2,??,?s中至少有一个零向量 (b)?1,?2,??,?s中至少有两个向量成比例 (c)?1,?2,??,?s中任意两个向量不成比例

(d)?1,?2,??,?s中至少有一向量可由其它向量线性表示

7. n维向量组?1,?2,??,?s(3?s?n)线性无关的充要条件是( )

(a)存在一组不全为零的数k1,k2,??,ks使得k1?1?k2?2???ks?s?0(b)?1,?2,??,?s中任意两个向量都线性无关

(c)?1,?2,??,?s中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 (d)?1,?2,??,?s中任一部分组线性无关

8. 设向量组?1,?2,??,?s的秩为r,则( )

(a)?1,?2,??,?s中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关 (b)?1,?2,??,?s中存在由r?1个向量组成的部分组线性无关 (c)?1,?2,??,?s中由r个向量组成的部分组都线性无关 (d)?1,?2,??,?s中个数小于r的任意部分组都线性无关

9. 设?1,?2,??,?s均为n维向量,那么下列结论正确的是( )

(a)若k1?1?k2?2???ks?s?0,则?1,?2,??,?s线性相关 (b)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,??,ks,都有k1?1?k2?2???ks?s?0,则?1,?2,??,?s线性无关

(c)若?1,?2,??,?s线性相关,则对任意不全为零的数k1,k2,??,ks,都有k1?1?k2?2???ks?s?0

(d)若0?1?0?2???0?s?0,则?1,?2,??,?s线性无关

10. 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组（）

(a)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 (b)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 (c)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 (d)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关

11. 若向量?可被向量组?1,?2,??,?s线性表示，则（）

(a)存在一组不全为零的数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s

(b)存在一组全为零的数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s (c)存在一组数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s (d)对?的表达式唯一

12. 下列说法正确的是（）

(a)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(b)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(c)若?1,?2,??,?s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 (d)任何n?1个n维向量必线性相关

13. 设?是向量组?1?(1,0,0)T，?2?(0,1,0)T的线性组合，则?=（）

(a)(0,3,0)T (b)(2,0,1)T (c)(0,0,1)T (d)(0,2,1)T

14. 设有向量组?1??1,?1,2,4?，?2??0,3,1,2?，

TTT?3??3,0,7,14?T，?4??1,?2,2,0?，?5??2,1,5,10?T，则该

向量组的极大线性无关组为（）

(a)?1,?2,?3 (b)?1,?2,?4 (c)?1,?2,?5 (d)?1,?2,?4,?5

?1?(a1,a2)T，?1?(b1,b2)T，15. 设??(a1,a2,a3)T，??(b1,b2,b3)T，下列正确的是（）

(a)若?,?线性相关，则?1,?1也线性相关;

(b)若?,?线性无关，则?1,?1也线性无关； (c)若?1,?1线性相关，则?,?也线性相关；

(d)以上都不对

二、填空题

1. 若?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T线性相关，则t=▁▁▁▁。

2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量?线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,??,?s(s?3)线性▁▁▁▁关。 5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。

6. 设向量组?1,?2,??,?s的秩为r,则 ?1,?2,??,?s中任意r个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。

7. 设向量?1?(1,0,1)T与?2?(1,1,a)T正交，则a?▁▁▁▁。 8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组?1,?2,??,?s与?1,?2,??,?t等价，则?1,?2,??,?s的秩与

?1,?2,??,?t的秩▁▁▁▁。

10. 若向量组?1,?2,??,?s可由向量组?1,?2,??,?t线性表示，则

r(?1,?2,??,?s)▁▁▁▁r(?1,?2,??,?t)。

T11. 向量组?1??a1,1,0,0?，?2??a2,1,1,0?，?3??a3,1,1,1?的

TT线性关系是▁▁▁▁。

12. 设n阶方阵A???1,?2,?,?n?,?1??2??3,则A?▁▁▁▁. 13. 设?1?(0,20

y,?12)T，?2?(x,0,0)T，若?和?是标准正交向量，则x

和y的值▁▁▁▁.

14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.

三、计算题

1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，

??(0,?,?2)，问

（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？

（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？（3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？

2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，

T?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：

（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？（2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？

3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，

?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

4. 设?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T，t为何值时?1,?2,?3线性相

关，t为何值时?1,?2,?3线性无关？

?3?(0,1,2)T标准正交化。?2?(?1,0,2)T，5. 将向量组?1?(1,2,0)T，

四、证明题

1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。

2. 设?1,?2,??,?n线性无关，证明?1??2,?2??3,??,?n??1在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。

3. 设?1,?2,??,?s,?线性相关，而?1,?2,??,?s线性无关，证明?能由

?1,?2,??,?s线性表示且表示式唯一。

?2,?3,?4线性无关，4. 设?1,?2,?3线性相关，求证?4不能由?1,?2,?3线性表示。

?,?s(s?2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向5. 证明：向量组?1,?2,?量是其余向量的线性组合。

6. 设向量组?1,?2,??,?s中?1?0，并且每一个?i都不能由前i?1个向量线性表示(i?2,3,?,s)，求证?1,?2,?,?s线性无关。

7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。

8.设?0,?1,?2,?,?s是线性无关向量组，证明向量组

?0,?0??1,?0??2,?,?0??s也线性无关。

第三章向量参考答案

一、单项选择

1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空题

1. 5 2.相关 3. ??0 4.相关 5.无关 6.线性无关 7. -1

8.无关 9.相等 10. ? 11.线性无关 12. 0 13. x??1,y??14.对应分量成比例三、解答题

1. 解：设??x1?1?x2?2?x3?3

?(1??)x1?x2?x3?0? 则对应方程组为?x1?(1??)x2?x3??

?x?x?(1??)x??223?11??11??1111????2(??3)

其系数行列式A?11（1）当??0,???3时，A?0，方程组有唯一解，所以?可由?1,?2,?3唯一地线性表示;

?1110??1110?????（2）当??0时，方程组的增广阵 A??1110???0000?，

?1110??0000?????r(A)?r(A)?1?3，方程组有无穷多解，所以?可由?1,?2,?3线性表示，

但表示式不唯一;

（3）当???3时，方程组的增广阵

10???21?1?21?3?????A??1?21?3???0?33?12?，r(A)?r(A)，方程组无解，

?1?000?18?1?29?????

所以?不能由?1,?2,?3线性表示。 2.解:以?1,?2,?3,?4,?为列构造矩阵

?1??0?2??3??1?1???01121??0??3a?24b?3???51a?85???0?111111112a?101?41?a200?41??1?0? ??b??（1）当a??1且b?0时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合；（2）当a??1,b任意时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合。

?1???13.解：(?1,?2,?3,?4,?5)??0??4?3??1??12?10??0??55?27?0???062014???2110?101001002??01?

1?1??00???1,?2,?4为一个极大无关组，且?3???1??2?0?4, ?5?2?1??2??4

1114.解：?1,?2,?3?123?t?5，

13t当t?5时?1,?2,?3线性相关，当t?5时?1,?2,?3线性无关。 5.解：先正交化：

令?1??1??1,2,0?

T ?2??2??,?2??1,?1??42??1=??,,2? ?1??55?T??,?3??3?3??1,再单位化：

??,?2???1?1?11??1?3?,? 2=?,??2,?2??3?1?66?T

??1?1?1??,??1?5?2?2?2,0??????,，2???2?530?1??? 6?TT130,5???， 30?T??21?3?3??,?,?3?6?6?1,?2,?3为标准正交向量组。

四、证明题

1.证：∵3(?1??2)?4(2?1??3)?0

∴?5?1?3?2?4?3?0 ∴?1,?2,?3线性相关

2.证：设k1(?1??2)?k2(?2??3)???kn(?n??1)?0

则(k1?kn)?1?(k1?k2)?2??(kn?1?kn)?n?0 ∵?1,?2,??,?n线性无关

?k1?kn?0?k?k?0?2∴?1

?????kn?1?kn?0110100??0010其系数行列式

011?00?2,n为奇数=1?(?1)n?1??

??????0,n为偶数?000?10000?11∴当n为奇数时，k1,k2,??,kn只能为零，?1,?2,??,?n线性无关；当n为偶数时，k1,k2,??,kn可以不全为零，?1,?2,??,?n线性相关。

3.证：∵?1,?2,??,?s,?线性相关

∴存在不全为零的数k1,k2,??,ks,k使得

k1?1?k2?2????ks?s?k??0

若k?0，则k1?1?k2?2????ks?s?0，（k1,k2,??,ks不全为零与?1,?2,??,?s线性无关矛盾所以k?0 于是???k1k??k2k?k12????sk?s ∴?能由?1,?2,??,?s线性表示。设??k1?1?k2?2????ks?s ①

??l1?1?l2?2????ls?s ②

则①-②得(k1?l1)?1?(k2?l2)?2????(ks?ls)?s?0 ∵?1,?2,??,?s线性无关 ∴ki?li?0,(i?1,2,?,s)

∴ki?li,(i?1,2,?,s) 即表示法唯一 4.证：假设?4能由?1,?2,?3线性表示

∵?2,?3,?4线性无关，∴?2,?3线性无关 ∵?1,?2,?3线性相关，∴?1可由?2,?3线性表示， ∴ ?4能由?2,?3线性表示，从而?2,?3,?4线性相关，矛盾

）

∴?4不能由?1,?2,?3线性表示。 5.证：必要性

?,?s线性相关设向量组?1,?2,? 则存在不全为零的数k1,k2,??,ks,使得k1?1?k2?2????ks?s?0

不妨设ks?0，则?s??kk1k?1?2?2????s?1?s?1， ksksks即至少有一个向量是其余向量的线性组合。

充分性

?,?s中至少有一个向量是其余向量的线性组合设向量组?1,?2,?不妨设?s?k1?1?k2?2????ks?1?s?1 则k1?1?k2?2????ks?1?s?1??s?0，

?,?s线性相关。所以?1,?2,?6.证：用数学归纳法

当s=1时，?1?0，线性无关，

当s=2时，∵?2不能由?1线性表示，∴?1,?2线性无关，

?,?i?1线性无关设s=i-1时，?1,?2,??,?i线性相关，?1,?2, 则s=i时，假设?1,?2,?,?i?1线性无关， ?i可

?,?i?1线性表示，矛盾，所以?1,?2,??,?i线性无关。得证由?1,?2,??,?s中有一部分组线性相关，?,?r（r

线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,??,kr,使得

k1?1?k2?2????kr?r?0

于是k1?1?k2?2????kr?r?0?r?1???0?s?0 因为k1,k2,??,kr,0，┈，0不全为零

?,?s线性相关。所以?1,?2,?8.证：设k0?0?k1(?0??1)?k2(?0??2)???ks(?0??s)?0

则(k0?k1?k2???ks)?0?k1?1?k2?2???ks?s?0 因?0,?1,?2,?,?s线性无关，

?k0?k1?k2???ks?0?k1?0??所以?解得k0?k1?k2???ks?0 k2?0????ks?0?所以向量组?0,?0??1,?0??2,?,?0??s线性无关。

第四章线性方程组

一、单项选择题

1．设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵的秩为r，则AX?0有非零解的充

分必要条件是（）

(A) r?n (B) r?n (C) r?n (D) r?n

2．设A是m?n矩阵，则线性方程组AX?b有无穷解的充要条件是（）

(A) r(A)?m (B) r(A)?n (C) r(Ab)?r(A)?m (D) r(Ab)?r(A)?n

3．设A是m?n矩阵，非齐次线性方程组AX?b的导出组为AX?0，若m?n，则（）

(A) AX?b必有无穷多解 (B) AX?b必有唯一解 (C) AX?0必有非零解 (D) AX?0必有唯一解

x1?2x2?x3?4??x2?2x3?24．方程组?无解的充分条件是??（）

?(??2)x??(??3)(??4)(??1)3?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 x1?x2?x3???1??2x2?x3???2?5．方程组?有唯一解的充分条件是??（）

x???43???(??1)x3??(??3))(??1))(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

x1?2x2?x3???1??3x2?x3???26．方程组?有无穷解的充分条件是??（）

??x?x?(??3)(??4)?(??2)?23(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

7．已知?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解，?1,?2是导出组

AX?0的基本解系，k1,k2为任意常数，则AX?b的通解是（） (A) k1?1?k2(?1??2)?

?1??22 (B) k1?1?k2(?1??2)??1??22

28．设A为m?n矩阵，则下列结论正确的是（）

(A) 若AX?0仅有零解，则AX?b有唯一解 (B) 若AX?0有非零解，则AX?b有无穷多解 (C) 若AX?b有无穷多解，则AX?0仅有零解

(D) 若AX?b有无穷多解，则AX?0有非零解

9．设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充要条件为（）

(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关

?x1?x2?x3?1?10．线性方程组?x1?2x2?3x3?0 （）

?4x?7x?10x?123?1(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只

有零解

二、填空题

1. 设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X，均有AX?0，则A的秩为 .

?kx1?2x2?x3?0?2. 线性方程组?2x1?kx2?0仅有零解的充分必要条件是 .

?x?x?x?0?1233. 设X1,X2,（c1,c2,Xs和c1X1?c2X2?cs为常数），则c1?c2??csXs均为非齐次线性方程组AX?b的解?cs? . 4. 若线性方程组AX?b的导出组与BX?0(r(B)?r)有相同的基础解系，则

r(A)? .

5. 若线性方程组Am?nX?b的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为 . 6. 设10?15矩阵的秩为8，则AX?0的解向量组的秩为 .

7. 如果n阶方阵A的各行元素之和均为0，且r(A)?则线性方程组AX?0n?1，的通解为 .

8. 若n元齐次线性方程组AX?0有n个线性无关的解向量，则A? .

1??12?1??x1???????9. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若齐次线性方程组AX?0只有零解，

?1a?2??0??x??????3?则a? .

1??12?1??x1???????10. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若线性方程组AX?b无解，则

?1a?2??0??x??????3?a? .

11. n阶方阵A，对于AX?0，若每个n维向量都是解，则r(A)? . 12. 设5?4矩阵A的秩为3，?1,?2,?3是非齐次线性方程组AX?b的三个不同的

解向量，若?1??2?2?3?(2,0,0,0)T,3?1??2?(2,4,6,8)T，则AX?b的通解为 .

13. 设A为m?n矩阵，r(A)?r?min(m,n)，则AX?0有个解，有个线

性无关的解. 三、计算题

,?3是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，问1. 已知?1,?2?1??2,??2?,?3??3是否是该方程组的一个基础解系？为什么？

?5?02. 设A???3??1433?1???1?51226??，B???1211?3???1111??10??6001??，已知B的行向量都是线?2100???23?20??201性方程组AX?0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？

?x?x?03. 设四元齐次线性方程组为（Ι）：?12

x?x?0?241）求（Ι）的一个基础解系

2）如果k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明

理由。

4. 问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。

?x1?ax2?x3?a?x1?x2?bx3?4??1）?ax1?x2?x3?1 2）??x1?bx2?x3?b2

?x?x?ax?a2?x?x?2x??433?12?125. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为

?x1? ?x2?x?3???????1?1???3?????c1????1?3??2?2???????c?3.(c1为任意实数,c2 )?2?????1????2?213?6. 设A??，求4?2一个矩阵B，使得AB?0，且r(B)?2。 ??9?528?

参考答案

一、单项选择题

1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C

二、填空题

1.100 2.k??2且k?3 3.1 4.r 5.m 6. 7 7. k(1,1,0

,1)T （k为任意实数） 8.0 9. a??1或3 10.a??1 11.

112. (,0,0,0)T?k(0,2,3,4)T,k任意实数 13.无穷，n?r

2三、计算题 1. 是 2. 不能

3. 1）v1?(0,0,1,0)T,v2?(?1,1,0,1)T 2）k(?1,1,1,1)T(其中k为任意非零常数)

1?a1(1?a)2T（-,,）；4. 1）当a??2时，无解；当a??2且a?1时有唯一解：

2?a2?a2?a当a?1时有无穷多解：c1(?1,1,0)T?c2(?1,0,1)T?(1,0,0)T(其中c1,c2为任意常数)

2）当b??1时，无解；当b??1且b?4时有唯一解：b(b?2)b2?2b?42bT（,,?）；当b?4时有无穷多解：

b?1b?1b?1c(?3,?1,1)T?(0,4,0)T(其中c为任意常数) 5. 9x1?5x2?3x3??5

0??1??01? 6. ??11212????5212????

第五章特征值与特征向量

一、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( )。

?100???(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2

?110???2. 设A??101?,则A的特征值是( )。

?011???(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A为n阶方阵, A2?I,则( )。

(a) |A|?1 (b) A的特征根都是1 (c) r(A)?n (d) A一定是对称阵 4. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( )。

(a) k1?0且k2?0 (b) k1?0且k2?0 (c) k1k2?0 (d) k1?0且k2?0 5. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( )。

(a) A?B (b) |A|?|B| (c) A与B相似 (d) A与B合同 6. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*的特征根之一是( )。 (a) ??1|A|n (b) ??1|A| (c) ?|A| (d) ?|A|n

17. 设2是非奇异阵A的一个特征值,则(A2)?1至少有一个特征值等于( )。

3(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4

8. 设n阶方阵A的每一行元素之和均为a(a?0),则2A?1?E有一特征值为

( )。

(a)a (b)2a (c)2a+1 (d)

2 +1 a9. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（）。

(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量 10. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( )。

(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 11. n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的( )。 (a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件

?1??12. 设矩阵A???1?1??1??000?????B?010与???相似,则?,?的值分别为( )。

?002?1????(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 13. 设A,B为相似的n阶方阵,则( )。

(a)存在非奇异阵P,使P?1AP?B (b)存在对角阵D,使A与B都相似于D (c)存在非奇异阵P,使PTAP?B (d)A与B有相同的特征向量 14. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( )。

(a) r(A)?n (b) A有n个不同的特征值 (c) A有n个线性无关的特征向量 (d) A必为对称阵

15. 若A相似于B,则( )。

(a) ?I?A??I?B (b) |?I?A|?|?I?B| (c) A及B与同一对角阵相似 (d) A和B有相同的伴随矩阵

?100???16. 设A??010?,则与A相似的矩阵是( )。

?002????110??100??101??200?????????(a) ?010? (b) ?020? (c) ?020? (d) ?011?

?002??001??001??002?????????

17. 下列说法不妥的是（） (a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零 (b)属于一个特征值的向量也许只有一个 (c)一个特征向量只能属于一个特征值 (d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵

18. 若AB，则下列结论错误的是（） (a)?E?A??E?B (b)A?B (c) 存在可逆矩阵P，使P?1AP?B (d)trA?trB

二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为_______。

2. 设A为n阶方阵，且A2?I，则A的全部特征值为_______。 3. 设A为n阶方阵，且Am?0(m是自然数)，则A的特征值为_______。 4. 若A2?A，则A的全部特征值为_______。

5. 若方阵A与4I相似，则A?_______。

6. 若n阶矩阵A有n个相应于特征值?的线性无关的特征向量，则A?_______。 7. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A2?A?I? 。 8. 设二阶矩阵A满足A2?3A?2E?O，则A的特征值为。

9. 特征值全为1的正交阵必是阵。

111110. 若四阶矩阵A与B相似，A的特征值为,,,，则B?1?E= 。

2345?2231??12?11. 若A??????B，则x? ，y= 。

?yx??34?

三、计算题

1. 若n阶方阵A的每一行元素之和都等于a,试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.

2. 求非奇异矩阵P,使P?1AP为对角阵.

?11?2??21??? 1) A??? 2) A???1?31?

?12???20?1???3. 已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

(0,0,1)T,(?1,1,0)T,(?2,1,1)T,求矩阵A.

?2?12??1?????4. 设A??5a3?，有一个特征向量???1?，求a,b的值，并求出对应

??1b?2???1?????于?的特征值。

?33?1??1?????5. 设A??t?22?，有一个特征向量????2?，求s,t的值。

?3s?1??3??????001???6. 设A??x1y?有三个线性无关的特征向量，求x,y满足的条件。

?100????ab?7. 求正交阵P，使P?1AP为对角阵，其中A???。

?ba? 37

8. 设三阶矩阵A的特征值为-1,2,5，矩阵B?3A?A2，求（1）B的特征值；

（2）B可否对角化，若可对角化求出与B相似的对角阵；（3）求B,A?3E.

?1?11??2???29. 已知矩阵A??24?2?与B????3?35????????相似， y??（1）求y；

（2）求一个满足P?1AP?B的可逆阵P。

?5?32???10. 设A??6?44?,求A100.

?4?45???四、证明题

1. 设A是非奇异阵, ?是A的任一特征根,求证关于?的特征向量也是A?1关于

1是A?1的一个特征根,并且A?1的特征向量. ?2. 设A2?E,求证A的特征根只能是?1.

3. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA. 4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.

5. 设n阶矩阵A?E，如果r(A?E)?r(A?E)?n，证明：-1是A的特征值。 6. 设AB，证明Ak是A的特征向量。

Bk。

7. 设?1,?2是n阶矩阵A分别属于?1,?2的特征向量，且?1??2，证明?1??2不

第五章参考答案

一、单项选择题

1.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b 10.c 11.b 12.a 13.a 14.c 15.b 16.b 17.a 18.a

二、填空题

1.0 2.1,-1 3.0 4.0,1 5.4I 6.?I 7.7 8.1,2 9.单位11.-17,-12

三、计算题 1.a,(1,1,,1)T

?11?2.(1)???11??11?? (2)?3???211???122? ???0?20?3.??130?? ??121??4.a?3,b?0,???1 5.s?9,t??2,???6 6.x?y?0

??1?1?7.P??22???,P?1?a?b0??11?AP???0a?b??

?22???8.(1)-4,2,-10 (2)??4??2??, (3)8 ???10????1119.（1）y?6,（2）特征值2,2,6；p????10?2???

?013??

10.24 39

?3100?2(2100?1)2?2100?3100??310010.?2(2100?3100)?44?2100?2100?2(3100?1)2(1?3)?3100?1??2(3100?1)? 100?2?3?1?四. 证明题 (略)

第六章二次型

一、单项选择题

1．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（）。

(a)A?0 (b)存在阶阵C，使A?CTC (c)负惯性指数为零 (d) 各阶顺序主子式为正

2．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是（）。

(a)A必与一对角阵合同

(b)若A的所有顺序主子式为正，则A正定

(c)若A与正定阵B合同，则A正定

(d) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同

3．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（）。

(a)A可逆 (b) A?1正定 (c)A的所有元素为正 (d) 任给X?(x1,x2,,xn)T?0,均有XTAX?0

4．方阵A正定的充要条件是（）。

(a)A 的各阶顺序主子式为正； (b) A?1是正定阵； (c)A的所有特征值均大于零； (d)AAT 是正定阵。

5．下列f(x,y,z)为二次型的是（）。

(a)ax2?by2?cz2 (b) ax?by2?cz (c)axy?byz?cxz?dxyz (d) ax2?bxy?czx2

6．设A、B为n阶方阵，X?(x1,x2,条件是（）。

,xn)T且XTAX?XTBX则A=B的充要

(a) r(A)?r(B) (b) AT?A

(c)BT?B (d) AT?A，BT?B，

7．正定二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为A，则( )必成立.

(a) A的所有顺序主子式为非负数

(b) A的所有特征值为非负数

8．设A，B为n阶矩阵，若( )，则A与B合同.

(a). 存在n阶可逆矩阵P,Q且PAQ?B

(b) 存在n阶可逆矩阵P，且P?1AP?B (c) 存在n阶正交矩阵Q，且Q?1AQ?B (d) 存在n阶方阵C,T，且CAT?B 9．下列矩阵中，不是．．

二次型矩阵的为（） ?000??100?(a).??000??

?(b)??0?10??00?1???? ?002???30?2??(c)??046??

?(d) ?123?

?456???265????

?789??

10．下列矩阵中是正定矩阵的为（） ?10?111? (a)??23??34?? (b)

??34??26??

(d)????0?35???120?

?102??11．已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵，那么A的特征值可能是（(a)3，i, －1; (b)2, －1, 3; (c)2, i, 4; (d)1, 3, 4

二、填空题

1. 二次型f(x21,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为。 2．二次型f(xx21,x2)?x212?6x1x2?3x2的矩阵为。

）

?104???3．设A??220?，则二次型f?XTAX的矩阵为。

?003???22?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是。4．若f(x1,x2,x3)?2x12?x2

5．设A为n阶负定矩阵，则对任何X?(x1,x2, 。 XTAX6．任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵。

?110???7．设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件。

?00a2???,xn)T?0均有

22?ax38．设实二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x2则当a的取值为_______ 时，

二次型f(x1,x2,x3)是正定的。

9．二次型f(x1,x2)?x1x2的负惯性指数是__________。

?13??x1?10．二次型(x1,x2)???x?的矩阵为。

?12??2?三、计算题

1. 求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型。

22?4x2x3?x31）f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x1x3?2x2

2?2x2x3 2） f(x1,x2,x3)?2x1x2?4x1x3?2x2?211??011?????2．设A??101?，B??121?，求非奇异矩阵C，使A?CTBC。

?110??110?????3．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)?x1x2?x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换

4．求非奇异矩阵P，使P?1AP为对角阵.

1?2?1?21????A??1?31 A????? 12????20?1???四、证明题

21. 已知二次型f(x1,x2,x3)?xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y12?y2，

?22?,0,且Q的第3列为?. ??2?2??(Ⅰ)求矩阵A ；（II）证明A?E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.

T2．设A、B为同阶正定矩阵，?，??0，求证?A??B也是正定矩阵。 3．设A, B是同阶正定矩阵，试证A＋B也是正定矩阵。

第六章参考答案

一、单项选择题

1． (d) 2． (c) 3． (c) 4． (b) 5． (a) 6． (d) 7． (c) 8． (c) 9．(d) 10． (c) 11． (d)

二、填空题

1. 3 2．??13???33?? 3． ?1?1??25．?0 6．合同

7．a?1 8．a?0 9．1

10．??12??22??

三、计算题 1．

?1）?x1?y1?y2?x?2?y2?y3

?x3?y3?x1?y1?y2?y2） ?3?x2?y1?y2?2y3

??x3?y3?010?2． ??100??，

??001???x1?y1?13．解：令??x?02?y1?y2 即X??11??x3?y3??00

10?

20?

?， 4．03?

0?0??Y?C1Y

1????2,2?

f(x1,x2,x3)?y12?y1y2?y1y3则：

2211?(y1?1y?y)?(y?y)2323224

1?w1?y1?1?1?12y2?2y32??令?w2?y2?y3 即Y??01?w?y?00?3?322即X?C1C2W使f(x1,x2,x3)?w1?14w2

?1???1?W?C2W 1????11?4． ??

?11?四、证明题

?11?3????211?? ?122???T?22?1．解：由题意A的特征值为1,1,0.且??2,0,2??为特征值0的特征血量

?? 所以1的特征向量若为(x1,x2,x3)T时有

22x1?x3?0 22?22?T 解方程即得Q的前2列为?0,1,0?，???2,0,2??

????12012??? ?Q??010?

?1012?2??T?1?100?2??T??A?Q?010?Q??0?000???1???2

0?12??10?

?012?

第二部分历年期末试题

山西财经大学

2006—2007学年第二学期期末

2007级《线性代数》课程试卷（A）

题号分数评卷人复核人一二三四五总分 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。

2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）二、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）

本题得分一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分）

1、设n阶方阵A与B等价，则必有（） (A) 当A?a(a?0)时，B?a (B) 当A?a(a?0)时，B??a (C) 当A?0时，B?0 (D) 当A?0时，B?0

2、设A,B为同阶可逆矩阵，则（） (A) 矩阵A与B等价 (B) 矩阵A与B相似 (C) 矩阵A与B合同 (D) 矩阵A与B可交换 3、向量组Ⅰ：?1,?2,,?r；可由向量组Ⅱ：?1,?2,,?s线性表示，则（）

(A) 当r?s时，向量组Ⅱ必线性相关 (B) 当r?s时，向量组Ⅰ必线性相关 (C) 当r?s时，向量组Ⅰ必线性相关 (D) 当r?s时，向量组Ⅱ必线性相关

4、已知?1和?2是非奇次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是对应导出组的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax?b的通解（一般解）为（） (A) k1?1?k2(?1??2)?

22???2???2 (C) k1?1?k2(?1??2)?1 (D) k1?1?k2(?1??2)?1

22?110???5、若方阵C??101?，则C的特征值为（）

?011????1??2 (B) k1?1?k2(?1??2)??1??2(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D）-1，1，1

本题得分二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）答题要求：将正确答案填写在横线上

1、已知?1，?2为2维列向量，矩阵A?(2?1??2,?1??2),B?(?1,?2)，若行列式

A??6,则B? 。

?500?2、设3阶方阵A??01?2?,则A的逆矩阵A?1= 。

???011????210?3、设A??120?，矩阵B满足ABA??2BA??E，其中A?为A的伴随矩阵，E???001???为三阶单位矩阵，则B的行列式B= 。 4、设A是3?5

?101?阶矩阵，A的秩r(A)?2，而B??020?，则r(BA)? 。

???103???5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2，3，4，其对应的余子式依次为4，

3，2，1，则该行列式的值为。

?a??12?2?6、设三阶矩阵A??212?，三维列向量???1?，已知A?与?线性相关，则

?????1??304?????a= 。

7、设四阶矩阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5，E为四阶单位矩阵，则

行列式B?E? 。

)?9，8、如果10阶方阵A的各行元素之和均为0，且r(A则线性方程组Ax?0的

通解为。

9、若方阵A与对角阵相似，且Am?0，（m为自然数），则A? 。 10、若二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的所属区间

222为。

本题得分三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）

?1?1x?1?11x?111x?1?1?1?1?0

11、解方程

11x?1

2、求向量组?1,?2,?3,?4,?5的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向

T（1，4，0，2），?2?(?2,?7,1,?4)T，?3?(1,4,?1,3)T 量。其中?1?T?4?（-4,-4,3,1），?5?(2,5,1,0)T。

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