概率论与数理统计标准作业纸答案

F(??,??)? 1 ，F(x,??)? 0 ，F(??,y)? 0 ，F(??,??)? 0 。

3.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为

?Ae?(2x?y),x?0,y?0, f(x,y)???0,其他.则 A?2 ;P{X?Y}?x?y?0??f(x,y)dxdy??+?0?+?x2e?(2u?v)dvdu?2． 34.设D是平面上的一个有界区域，其面积为A，二维随机变量（X,Y）在区域D上服从二?1?,?x,y??D;维均匀分布,则（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)? ?A

?0,?x,y??D.?三、计算题

?e?y,0?x?y1.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??

?0,其他（1）求P{X?Y?1}；（2）求联合分布函数F(x,y). 解（1）P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?0?x?y1201?xxedy?1?e－2e

?y－1?12?1?e?x?xe?y（2）F(x)???0 .

2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?Ae?(x?2y),x?0,y?0;f(x,y)??

其他.?0,试求（1）常数A ； (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解：（1）由于 故

??????????f(x,y)?1，

??0????0Ae?(x?2y)dxdy?A?1，所以A?2 221（2）P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4) .

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§3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性

一、单选题

1.(X,Y)为二维连续随机变量，对任意的实数x，函数P?X?x,Y????为 （ B ） （A）关于随机变量Y的边缘分布函数 （B）关于随机变量X的边缘分布函数 （C）(X,Y)的联合分布函数 （D）以上都不对

二、填空题

1.下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处 Y X y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? x1 1 241 8 1 81 121 43 41 x2 P{Y?yi}?p?j3 81 21 41 31 62.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23则X的边缘分布函数为FX(x)?F(x,??)?11x?arctan ， Y的边缘概率密度为2?2fY(y)?FY?(y)?F?(??,y)?3. 2??y?9?3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则随机变量X的边缘分布函数为

FX(x)?F(x,??)，随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y).

4. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量X的边缘概率密度为

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fX(x)??????f(x,y)dy，随机变量Y的边缘概率密度为fY(y)??????f(x,y)dx.

三、计算题

?e?y,0?x?y1.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??，求X的边缘

?0,其他概率密度fX(x). 解 x?0时,fX(x)????xe?ydy?e?x,x?0时，fX(x)?0故

?e?x，x?0 fX(x)??x?0?0,2.已知随机变量X1和X2的概率分布如下

X1 ?1 0 11P 4 2 1 14

X2 0 1P 2 1 12 而且P{X1X2?0}?1.（1）求X1和X2的联合分布；（2）问X1和X2是否独立？为什么？ 解 (1) P{X1X2?0}?P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0

?P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0

X1 X2 ?1 0 0 1 21 0 1 1 41 40 0 （2）因为P{X1?0,X2?0}?0,P{X1?0}P{X2?0}?1?0,所以X1和X2不独立. 4?2e?(x?2y),x?0,y?03.已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??

其他.?0,随机变量X和Y是否独立？

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?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 由于 fX(x)??， fY(y)??.

0,x?00,y?0??故f(x,y)?fX(x)fY(y),所以随机变量X和Y独立.

?§3.4 二维随机变量函数的分布

一、单选题

1. 设X和Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则

Z?min{X,Y}的分布函数是 （ D ）

（A）FZ(z)?FX(x) （B）FZ(z)?FY(y)

（C）FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? （D）FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)? 2. 设X和Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则

Z?max{X,Y}的分布函数是（ B ）

（A）FZ(z)?max?FX(x),FY(y)? （B）FZ(z)?FX(x)FY(y)

（C）FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? （D）FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)?

二、填空题

1. 已知随机变量X与Y独立，且

XN?0,1?，Y14?eN?1,22?，

2则 Z?2X?Y?3的概率密度fZ(z)???z?2?/16,z?R.

2.设X和Y为两个随机变量，且P{X?0,Y?0}?3,P{X?0}?P{Y?0} 754?.则P{max(X,Y)?0}? .

77三、计算题

1. 设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律, 且X的分布律为

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