概率论与数理统计标准作业纸答案 X P 求随机变量Z?max{X,Y}的分布律.

0 1 12 12 解 由题设知, Z的可能取值为0,1.

Z?max{X,Y}?0即意味着X?0,Y?0. 又由于X和Y相互独立, 所以

P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}?P{Y?0}?又 P{Z?1}?1?P{Z?0}?1?故Z?max{X,Y}的分布律为

111??. 22414?34.

Z P

0 1 14 34 2. 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

?e?y?1,0?x?1 fY(y)??fX(x)??其它?0,?0求它们的和Z?X?Y的概率密度. 解：fZ(z)?y?0y?0

?10fY(z?x)dx??zzz?1fY(t)dt

z?0,fZ(z)?0;0?z?1,fZ(z)??e?tdt?1?e?z;

0z?1,fZ(z)??e?tdt?e1?z?e?zz?1z?1?e?z0?z?1?1?z?zz?1 故：f(x)??e?e?0z?0?

第三章 练习题

1.把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y为正面出现次

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概率论与数理统计标准作业纸答案

数与反面出现次数之差的绝对值 , 求(X,Y)的分布律以及关于X、Y的边缘概率分布 .

解 X的可能取值为0，1,2,3；Y的可能取值为1,3

并且 (X,Y) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)

11P{X?0,Y?3}?()3?

2831112P{X?1,Y?1}?C3()()?

22832121 P{X?2,Y?1}?C3()()?

22811P{X?3,Y?3}?()3?

28得(X,Y)的分布及关于X、Y的边缘概率分布为

Y X 1 3 P{Xi} 1 83 83 81 81 0 1 0 3 83 81 80 0 1 82 82 3 0 6 8P{Yi} 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?Ae?2(x?y),f(x,y)???0,(1) 确定常数A;

(2) 求(X,Y)的分布函数F(x,y);

x?0,y?0,其它.

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(3) 求关于X和Y的边缘概率密度fX(x), fY(y); (4) 计算概率P(X?1,Y?2); (5) 计算概率P{X?Y?1}; (6) 随机变量X和Y是否独立？ 解 (1) 由联合概率密度的性质有

1???????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?2(x?y)dxdy?A4,

故得 A?4.

(2) 由概率密度的定义知, 分布函数F(x,y)?当X?0或Y?0时, f(x,y)?0 , 故

????xy??f(x,y)dxdy,

F(x,y)?0.

当X?0且Y?0时,

F(x,y)??[?4e?2(x?y)dy]dx=(1?e?2x)(1?e?2y).

00xy 所以

?(1?e?2x)(1?e?2y),F(x,y)???0,(3) X的边缘分布函数为

?2x??1?e,FX(x)?F(x,??)????0,x?0,y?0,其它.

x?0,x?0.

故关于X的边缘概率密度为

?2e?2x,?(x)??fX(x)?FX?0,同理，关于Y的边缘概率密度为

x?0, x?0.??2e?2y,fY(y)????0,第 27 页

y?0,

y?0.概率论与数理统计标准作业纸答案

(4) P(X?1,Y?2)?F(1,2)?(1?e)(1?e) . ( P(X?1,Y?2)?(5) P{X?Y?1}??2?4??0120f(x,y)dxdy?(1?e?2)(1?e?4) )

x?y?1??f(x,y)dxdy???x?y?1x?0,y?04e?2(x?y)dxdy

??[?011?x04e?2(x?y)dy]dx?1?3e?2.

(6) 显然 f(x,y)?fX(x)fY(y),所以随机变量X和Y独立.

第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

一、单选题

1.掷6颗骰子，令X为6颗骰子的点数之和，则E(X)?（ D ）

（A）42 （B）21/2 （C）7/2 （D） 21

二、填空题

?kx?,0?x?1,1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 其中k,??0，又已知

?0,其它,E?X??0.75，则k? 3 ，?? 2 2. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望EX?e?2X? 4/3 ??三、计算题

1.袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，现从中任意抽取3个球，用X表示取出的3个球的最大编号，求E?X?. 解：X的分布律为

X p 则E?X??4.5。

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