张量分析与连续介质力学

教材：

《The Mechanics and Thermodynamics of Continua》 M.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010

教学参考书：

1、《An Introduction to Continuum Mechanics》, M.E. Gurtin, Academic

Press, 1981. （中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992）

2、《连续介质力学基础》，熊祝华等，湖南大学出版社，1997

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3、《连续介质力学基础》，黄筑平，高等教育出版社，2003 4、《非线性连续介质力学》，匡正邦，上海交大出版社，2002

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第一章 张量分析基础

第一节 矢量和张量代数

一、矢量代数

本课程只在三维欧氏空间?内讨论连续介质力学的基础原理。 1、 点——反应一定的空间位置，由x表示

2、 矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用v来表示。

（两点间的距离可由一矢量表示） （点x和矢量v之和是另一个点y）

3、 矢量的点积和叉积

vx

y

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1）点积

（?为两个矢量间的夹角）

u表示矢量的大小，为一标量，有u?u?u。

2）叉积

u?v?w （为一新的矢量）

u?v表示由u和v构成的平行四边形的面积。u?v?uvsin?且w?u，w?v

3）混合积

u??v?w?

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u??v?w?表示由u，v和w三个矢量围成的体的体积。

? 如果该体的体积不为零，则称u，v和w线性无关。 ? 如果对于不为零的常数a，b，c，有：

au?bv?cw?0

则称u，v和w线性相关。

不满足线性相关的矢量则是线性无关的。

4、 矢量空间及其性质

由欧氏空间?中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间?。

如果u，v和w是线性无关的，则?u,v,w?构成矢量空间?的基，即?中任一矢量

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都可以表示为：

a??u??v??w

1） 如果u??v?w??0，则基?u,v,w?是正向的（右手法则）。

2） 如果a??b?c?和u??v?w?是同号的，则两组基?a,b,c?和?u,v,w?是同向的。 3） 如果

和

，则基?u,v,w?是正交的，且u，v和

w是单位矢量。

? 矢量的相等定义： 1）若对于所有的矢量v，有a?v?b?v，则a?b；

2）若对于所有的矢量v，有a?v?b?v，则a?b。

? 子空间的定义：对于矢量子集合?中的任意矢量u和v以及任意的标量?和?，如果线性组合?u??v也属于?，则称矢量子集合?为子空间。

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例：?的子空间有?0?，过原点的线，过原点的面以及?本身。 回顾：矢量运算的基本定律。

① 矢量和：满足 ② 数乘： 满足 ③ 矢量的点积：满足

交换律结合律分配律结合律 交换律分配律 正定性 u?v?v?u ?u?v??w?u??v?w?

?a?b?u?au?bu（a，b为实数）a?u?v??au?av

a?bu??abu

a?u?v??au?av

f??u?v??f?u?f?v

u?u?0，当且仅当u?0时u?u?0-7-

Schwartz不等式

u?v?uv

④ 矢量的叉积：满足 分配律 f??u?v??f?u?f?v

二重叉积 u??v?w???u?w?v??u?v?w

⑤ 混合积： 记为?uvw? ?u?v??w?u??v?w?

有 ?uvw???vwu???wuv????vuw????uwv????wvu?

5、 Cartesian坐标系（直角坐标系）

Cartesian坐标系由一个原点和一组正向的正交基?e1,e2,e3?构成。基矢间满足：

ei?ej?δij ei?ej?ek?εij k（i，j，k=1，2，3）

?1δij为Kronecker函数，有 δij???0

??i?ji?j

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εijk为置换符号，定义为

εijk?1????1?0??i,j,k???1,2,3???2,3,1???3,1,2??i,j,k???2,1,3???1,3,2???3,2,1?

如果指数重复6、 求和约定及矢量和点的分量表示

Einstein求和约定：两个相同的指标表示对（1, 2, 3）遍历求和，即

这两个相同的指标称为哑标（dummy index），可用任意两个相同的指标表示，即：

矢量的分量表示：

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（j=1, 2, 3）

uj则称为u关于Cartesian坐标系基矢的分量，也可以写成：

以此类推，可将点x的坐标写成：

矢量运算的分量表示：

ε-δ恒等式：

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二、张量代数

1、 张量的定义

由若干坐标系改变时满足一定坐标转换关系的有序数组成的集合定义为张量。 例如：由9个有序数组成的集合Tij?i,j?1,2,3?，在坐标转换时满足Ti'j'?Ci'kCj'lTkl?i',j'?1,2,3?，则Tij就是一个张量（二阶张量）。Ci'k为系数转换矩阵。上式中自由指标的个数与所乘坐标转换系数的次数相等，称为张量的阶数。

m

n 在n维空间中，m阶张量应是个数的集合。

2、 二阶张量的线性变换性质

Gurtin等将二阶张量理解为矢量空间?之间的线性变换，即认为一个张量S将矢量u线性映射为另一个矢量v，即有：

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S张量的线性特性可以体现在：

张量相等：当且仅当对任意矢量v，Sv?Tv成立时，有S?T。

同样，对任意矢量a和b，当且仅当S = T时，有a?Sb?a?Tb

由此可定义张量S和T之和S + T以及张量S和标量?的乘积?S为：

（对任意v）

可证明S + T和?S也都是二阶张量。 3、 几种特殊张量

1) 零张量和单位张量： 0，1

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