学而思小学奥数36讲(上) - 图文 下载本文

【分析与解】 有整数部分尽可能大,十分位尽可能大,则有92918??较大,于是最大的为

??9.291892915.

11.请你举一个例子,说明“两个真分数的和可以是一个真分数,而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有

16?110?415,

110?115?16,

135?1141?1101

评注:本题实质可以说是寻找孪生质数,为什么这么说呢? 注意到

1a?b?1c?b?c?aa?b?c,当a?c?b时,有

a?b?c?b?c?aa?b?c?1a?c.

当a、b、c两两互质时,显然满足题意.

显然当a、b、c为质数时一定满足,那么两个质数的和等于另一个质数,必定有一个质数为2,不妨设a为2,那么有2?c?b,显然b、c为一对孪生质数. 即可得出一般公式:

12.计算:(1? 【分析与解】 原式=

===

(2?1)?(2?1)2?23?310?101?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?112?2?3?3?4?4?...?10?101?2?3?3?4?4?5?5?...?9?9?10?112?2?3?3?4?4?...?9?9?10?101?2?10?112?2?10?101120?(3?1)?(3?1)?...?(10?1)?(10?1)12?2)?(1?13?3)?...?(1?110?10)

11,c与c+2均为质数即可. ??2?(c?2)c?(c?2)2?c1

=.

13.已知a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?7011?65?12?66?13?67?14?68?15?69?100.问a的整数部分是多少?

【分析与解】

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?(65?1)?12?(66?1)?13?(67?1)?14?(68?1)?15?(69?1)?100 =

11?65?12?66?13?67?14?68?15?69(1?=

11?12?13?14?1511?65?12?66?13?67?14?68?15?69)?100

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a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100

=100?因为

11?12?13?14?1511?65+12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15?100.

11?12?13?14?15100 ?100<?100?11?65+12?66?13?67?14?68?15?69(11?12?13?14+15)?656510035所以a<100+. ?101656511?12?13?14?15100 ?100>?100?11?65?12?66?13?67?14?68?15?69(11?12?13?14+15)?696910031所以a>100?. =1016969同时

11?12?13?14?15综上有101

3169<a<1013565.所以a的整数部分为101.

14.问

12100101357992468100=A,????...?=B, 【分析与解】方法一:令????...?24681003579101?34?56?78?...?99与

1相比,哪个更大,为什么?

有A?B=12?34?56?78?...?99100?23?451?67?89?...?100101=11011.

而B中分数对应的都比A中的分数大,则它们的乘积也是B>A,

(=有A×A<4×B

1101)<

1100110=110?10110,所以有A×A<更大. ,

110?10,那么A<

110.

12?34?56?78?...?1?399100?5与

?相比,

97方法二:设A=724689810011335599992?则A=??????...?

224466100100?...??99=显然

1?3?3?5?5?7?7?...?97?97?99?99?12?2?4?4?6?6?8?...?96?98?98?100?1001?33?55?797?9999,

11002?2、

4?4、

6?6、?、

98?98、

100都是小于1的,所以有A2<,于是A<

110.

15.下面是两个1989位整数相乘:111...11??????111...11?????.问:乘积的各位数字之和是多少?

1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为111...11?????能被9整除,所以将一个111...11?????1989个11989个1乘以9,另一个除以9,使原算式变成:

999......99??????123456790......012345679???????????

1989个9共1988位数(1000......00?123456790......012345679=??????1)???????????

1989个0共1988位数Page 6 of 69

=123456790......012345679???????????000......00??????123456790......012345679???????????

共1988位数1989个0共1988位数=123456790......012345679123456789876543209......9876543209????????????????????????87654321

共1988位数共1980位数 得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”,所以各位数之和为:

(1?2?3?4?5?6?7?9)?220?(9?8?7?6?5?4?3?2)?220 (1?2?3?4?5?6?7?8)(?9?8?7?6?5?4?3?2?1)?17901 +

评注:111111111÷9=12345679;

M×999...9???的数字和为9×k.(其中M≤999...9???).可以利用上面性质较快的获得结果.

k个9k个9

第2讲 计算综合(二)

本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题,但不包括多位数的运算. 1.n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3; 2.从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式:

12?22?32???n2?16?n??n?1???2n?1?

3.平方差公式:a2

-b2

=(a+b)(a-b).

1. 已知a=

1,b?12?12?1,试比较a、b的大小.

3?13?1????199????199?1100

【分析与解】 a?11,

2?1,b?13?12?3?1????1????198?11A98?B其中A=99,B=99+

111100.因为A98+B,

97?1?97?1,96?1?96?1,

98?1A98?197?197?1B98?1A98?1BPage 7 of 69

?

2?3?4?111????198?1A?2?3?4?111????198?1B,所以有a < b.

2.试求

2?3?4?????11111200513?4?????1112005?1?1?3?11114?????112005的和?

【分析与解】 记x?,则题目所要求的等式可写为:

12?x?1?111?x,而

12?x?1?111?x?12?x?1?x2?x?1.

所以原式的和为1.

评注:上面补充的两例中体现了递推和整体思想.

2. 试求1+2+3+4+?4+100的值?

【分析与解】 方法一:利用等差数列求和公式,(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050.

方法二:倒序相加,1+ 2+ 3+ 4+ 5+? 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+?4+ 3+ 2+ 1,

上下两个数相加都是101,并且有100组,所以两倍原式的和为101×100,那么原式的和为 10l×100 ÷2=5050.

方法三:整数裂项(重点),

原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+?+100×2)÷2

=?1?2?2?(3?1)?3?(4?2)?4?(5?3)?????100?(101?99)??2

=(1?2?2?3?1?2?3?4?2?3?4?5?3?4?????100?101?99?100)?2 =100?101?2 =5050.

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