2014年数学建模作业题 下载本文

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

试建一模型以帮助决定挖取哪些块,使收入减费用之差为最大。

17、系统可靠性问题

系统由若干个部件串接而成,只要一个部件出现故障,系统就不能正常工作,为提高系统可靠性每个部件都装有备件,一旦原部件出现故障,备件就自动进入系统。显然,备件越多系统可靠性越大,但费用也越高。问题是在一定的费用下,如何配置各部件使系统的可靠性最大。

(1) 由n个部件串接的系统,当部件k配置j个备件时,该部件正常工作的概率及费用均已知,在总费用不超过定值的条件下,建立使系统的可靠性最大的模型。

(2) 设n=3且每个部件至多配置3个备件,部件k配置j个备件时正常工作的概率pkj及费用ckj如下: 备件数量j 备件数量j pkj Ckj 1 2 3 1 2 3 1 0.5 0.7 0.9 1 2 4 5 部件部件2 0.7 0.8 0.9 2 3 5 6 号k 号k 3 0.6 0.8 0.9 3 1 2 3 总费用不超过10,如何配置各部件的备件数使系统的可靠性最大。

18、配送问题

[配送问题一]:一公司有二厂,分处A、B两市,另外还有4间具有存贮机构的库房,分别在P、Q、R和S市。公司出售产品给6家客户C1,C2,...,C6,由各库房或直接由工厂向客户供货。

配送货物的费用由公司负担,单价见下表: 表一 受货者 供货者 A市厂 B市厂 P库房 Q库房 R库房 S库房

P库房 0.5 ---- Q库房 0.5 0.3 R库房 1.0 0.5 S库房 0.2 0.2 客户C1 1.0 2.0 ---- 1.0 ---- ---- 客户C2 ---- ---- 1.5 0.5 1.5 ---- 客户C3 1.5 ---- 0.5 0.5 2.0 0.2 客户C4 2.0 ---- 1.5 1.0 ---- 1.5 客户C5 ---- ---- ---- 0.5 0.5 0.5 客户C6 1.0 ---- 1.0 ---- 1.5 1.5

A市厂月供货量不能超过150千吨,B市厂月供货量不能超过200千吨。各库房的月最大流通量千吨数为 表二 库房 P Q R S 流通量 70 50 100 40 各客户每月所必须满足的供货量为(单位:千吨)

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表三 客户 C1 C2 C3 C4 C5 C6 要求货量 50 10 40 35 60 20 公司希望确定:如何配货,总费用最低? [配送问题二]:现假设可以在T市和V市建新库房,和扩大Q市的库房,而库房的个数又不能多于4个,必要时可关闭P市和S市的库房。

建新库房和扩建Q市库房的费用(计入利息)摊至每月为下表所列值(万元),它们的潜在的月流通量(千吨)也列于表中 表四

库房 月费用 流通量 T 1.2 30 V 0.4 25 Q(扩建) 0.3 20 关闭P市库房月省费用1万元;关闭S市库房月省0.5万元。 涉及新库房的配送费用单价(元/吨)见下表 表五

供货 A B T V 受货 T 0.6 0.4 V 0.4 0.3 C1 1.2 ---- C2 0.6 0.4 C3 0.5 ---- C4 ---- 0.5 C5 0.3 0.6 C6 0.8 0.9

问题为应建那些新库房?Q市库房应否扩建?P市和S市库房应否关闭?配运费用最小的配货方案是什么?

20、汽车保险问题

随着汽车数量的逐年增加,以及汽车普及率的逐年提高,汽车保险市场的前景越来越看好,但是,汽车数量的增加也对交通管理与安全带来了一定的负面影响,保险公司希望投保人越多越好,但是任何事物都具有两面性,若对交通事故不很好控制,投保人的增加也会造成索赔人的增加,所以,有的国家提出了安全带法规,从而较好地控制了交通事故的死亡率,使得投保人到保险公司索赔的人数有所减少。同时,政府希望保险公司降低保费,从而更好地体现社会主义保险事业利国利民的性质。

某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务,这一年内,若客户没有要求赔偿,则给予额外补助。所有参保人被分为0,1,2,3四类。类别越高,从保险费中得到的折扣越多;在计算保险费时,新客户属于0类;在客户延续其保险单时,若在上一年没有要求赔偿,则可提高一个类别,若客户在上一年要求过赔偿,如果可能则降低两个类别,否则为0类;客户退出保险,则不论是自然的还是事故死亡引起的,将退还其保险金的适当部分。

现在政府准备在下一年开始实施安全带法规,如果实施了该法规,虽然每年

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的事故数量不会减少,但事故中受伤的司机和乘务员数肯定会减少,从而医药费将有所下降。这是政府预计会出现的结果,从而期望减少保险费的数额。这样的结果果真会出现吗?这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道,死亡的司机会减少40%,遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来,有人认为,医疗费会减少20%~40%。假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。

保险公司希望你能给出一个模型,来解决上述问题,并以表1和表2的数据为例,验证你的方法,并给出在医疗费下降20%和40%的情况下,公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理?给出你的建议。 表1 本年度发放的保险单数 基本保险费:775元 类别 没有索赔时补续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数 贴比例(%) 0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 总收入:6182百万元;偿还退回:70百万元;净收入:6112 百万元; 支出:149百万元;索赔支出:6093百万元;超支:130百万元 表2 本年度的索赔款 类别 索赔人数 死亡司机人平均修理费/平均医疗费/平均赔偿费/数 元 元 元 0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 823 2941 3 700872 7013 805 814 2321 总修理费:1981百万元;总医疗费:2218百万元; 总死亡赔偿费:1894百万元;总索赔费:6093百万元 21、 投入产出问题

一个包括煤炭、钢铁和运输三种产业的经济系统,生产煤炭、钢铁和提供运输服务。各产业产品以及价值计算的单位为亿元。单位产出所需要的各产业产品的投入量,以及人力的投入量(也以亿元为单位计算)见表1。第t +1年度的产出需要的是第t年度的投入。

表1 年度(t+1)单位产出 煤炭 钢铁 运输 煤炭 0.1 0.5 0.4 钢铁 0.1 0.1 0.2 年度t运输 投入 0.2 0.1 0.2 人力 0.6 0.3 0.2 为提高生产能力,需要进一步投资。为使各产业第t+2年较第t年度多生产一单位,所需在第 t年度多产出一单位,所需在第t年度各产业产品和人力的投入量见表2。

表2

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年度(t+2)增单位产出 煤炭 钢铁 运输 煤炭 0.0 0.7 0.9 钢铁 0.1 0.1 0.2 年度t运输 投入 0.2 0.1 0.2 人力 0.4 0.2 0.1 假设存货可以无费用的从一年转入下一年。现在(第0年)存货量和年生产能力见表3,人力的年供应量限制不超过4.7亿元。

表3

存货 生产能力 煤炭 1.5 3.0 钢铁 0.8 3.5 运输 1.0 2.8 试研究该经济系统未来五年的不同增长模式。具体说,按下述的不同目标,分别求各产业各年度的产出应为何?目标:

(1) 第5年末生产能力总量最大,同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭,0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求(第0年除外)。

(2) 第4年和第5年总产出(不是生产能力)为最大,但忽略每年的外部消费。 (3) 在满足(1)的外部消费要求的同时,使人力需求最大(即就业机会最多)。忽略人力供应量的限制。

22、停车场收费问题

伊顿公学(Eton College)是英国的一所著名的公学,位于英格兰温莎,泰晤士河的河边。 伊顿公学学生的成绩都十分优异,也是英国王室、政界经济界精英的培训之地,被公认是英国最好的学校。目前学校有住校生4000人,走读生8000人,教师1600人,职工2400人。拥有个人汽车的人数分别占其中的77%,91%,89%和97%,则拥有汽车数分别为3080,7280,1424和2328,共计14112辆,但学校现有停车位仅9988个,供不应求。为了限制停车数量和维持正常的经费开支,实行停车许可证和年度收费政策。在这9988个停车位中,包括最近新建的两个停车平台(即学生中心停车平台)的1500个停车位,平均每个停车位的建设费用高达4000英镑。为了逐步付清这项工程的贷款,该停车平台单独设了较高的收费,除了原有的每年每车位100英镑的费用,另加收使用费每天1.50英镑。但这项收费引起了各方面,特别是学生的极大不满。有些学生宁愿把车停在1英里以外,然后步行,或者乘校车,也不愿付这1.50英镑,造成现将车停在校园内人数仅为9590人,全校停车位不足,而学生中心停车平台却远远没有停满,致使学校的停车和交通经费预算短缺100,000英镑以上,而且导致校外乱停车,使校园北部居民抱怨很大。请根附件信息,在考虑各方面因素的基础上,①从新制定学校停车规划,有利于学校的长期发展;②在现在的收费情况下,按你的规划计算停车场的盈利。

(附件1):现有车位类型及收费情况 停车类型 数量(个) 收费(每个车位全年100英镑) 零散无限制车位 6600 只要有停车许可证(学生5500,教职工1100) 短期按天收费车位 1328 若有停车许可证,每天加收1.5英镑,否则每天加收3英镑 6