22 （本小题满分12分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池?ABCD?的池底水平铺设污水净化管道

(Rt?FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的

接口点H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB?20米，AD?103米，记?BHE??.

（1）试将污水净化管道的长度(Rt?FHE的周长）L表 示为?的函数,并求出定义域；（6分） （2）问：当?取何值时，污水净化效果最好？

并求出此时管道的长度. （6分）

湛江一中2017-2018学年度第二学期“第一次大考 ”

高一级 理科数学试卷 参考答案及评分标准

一、选择题：（每题5分，满分60分） 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B 9 D 10 D 11 B 12 D

二、填空题：（每题4分，满分16分）

?5?13．(0,9) 14．20_ 15．3 16．??,1?.

??5?16 不妨设O为坐标原点， A?0,1?， B?2,0?，则P?2u,??，也就是P2?1???,?.

??而OA在OP上的投影为

OAOP·OP??4?1?????22.令f????4?1?????22?，如果

??0，则f是f2????5?2?8??4?2?4t2?8t?5?4?t?1??1,t?0，所以f2????1也就

2????1，所以0??4?1?????222?1；当??0时，

?4?1?????22?0；当??0222时， f????4t?8t?5?4?t?1??1,t?0，所以f????5也就是f?????5，所?OAOP·5?5???0.综上， ,1?. 以?的取值范围为???2255OP??4?1?????三、解答题:

17 （1）解：（1）∵f?x??2sin???x?cosx?2sinxcosx?sin2x，（…………3分）

∴函数f(x)的最小正周期为?. （…………5分）

（2）由??6?x??2???3?2x??，∴?3（…………8分） ?sin2x?1，

2

∴f(x)在区间??3????. （……10分） ,?上的最大值为1，最小值为?2?62?18（1）证法１：∵EF//AD,AD//BC ∴EF//BC且EF?AD?BC

∴四边形EFBC是平行四边形 ∴H为FC的中点-------------2分 又∵G是FD的中点

∴HG//CD---------------------------------------4分 ∵HG?平面CDE，CD?平面CDE

∴GH∥平面CDE ------------------------------------6分 证法２：连结EA，∵ADEF是正方形 ∴G是AE的中点----1分 E∴在⊿EAB中，GH//AB ------------3分 又∵AB∥CD，∴GH∥CD， ------------4分 ∵HG?平面CDE，CD?平面CDE ∴GH∥平面CDE ---------------6分

（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD

CDBAHGF且FA⊥AD， ∴FA⊥平面ABCD.--- --------8分 ∵BC?6, ∴FA?6 又∵

CD?2,DB?42 ，CD2?DB2?BC2 ∴BD⊥CD -----------10分

∴ S∴ VF?ABCD?ABCD?CD?BD＝82 1?FA?82?6?162----------------------12分 ＝ABCD31S319 解：(1)由m∥n，得(2b－c)cos A－acos C＝0，

∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0， 2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C ＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B， 在锐角三角形ABC中，sin B＞0，

1π

∴cos A＝，故A＝.-----------------------------------6分

23

π

(2)在锐角三角形ABC中，A＝，

3

ππ13?π?2

故＜B＜.∴y＝2sinB＋cos?－2B?＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B 6222?3?

π?31?＝1＋sin 2B－cos 2B＝1＋sin?2B－?. 6?22?

ππππ5π∵＜B＜，∴＜2B－＜. 62666

π?13?∴＜sin?2B－?≤1，＜y≤2. 6?22?

?π??3?2

∴函数y＝2sinB＋cos?－2B?的值域为?，2?.-------------------12分

?3??2?

20解：(1) 解析

已知h(x)?2cos2x?43sinx?2(1?2sin2x)?43sinx??4(sinx?-----------------------------------4分

32)?5 2又sinx?1,?当sinx?1时，h(x)min??4?43;当sinx??1时，h(x)max?5

--------------------------------- -6分

21 解：

（1）证明：连结OC

BO?DO,AB?AD,?AO?BD. BO?DO,BC?CD,?CO?BD.

222在?AOC中，由已知可得AO?1,CO?3. 而AC?2, ?AO?CO?AC,

??AOC?90o,即AO?OC.

?AO?平面BCD ……………..4分 BDOC?O,

（2） 取AC的中点M,连接OM,ME,OE,由E是BC的中点知：ME//AB,OE//DC,

所以直线OE与EM所成的角就是异面直线AB和CD所成角，在三角形OME中，EM=1/2AB=

22,OE=1/2DC=1.又OM是三角形AOC斜边上的中线，所以OM=1/2AC=1.cos?OEM?2 4…………..8分

（3）解：设点E到平面ACD的距离为h.

VE?ACD?VA?CDE,

11?h.S?ACD?.AO.S?CDE.33