2016-2017学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷

一.填空题 1．（5分）已知2．（5分）双曲线

，则cosα= ． 的实轴长为 ．

3．（5分）设集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z= ．

4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为 ．

5．（5分）投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于 ． 6．（5分）已知函数数a ． 7．（5分）设

，为单位向量．且

、的夹角为

，若=

+3

，=2

，

的图象与它的反函数的图象重合，则实

则向量在方向上的射影为 ．

8．（5分）若an是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的系数，则

= ．

9．（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ． 10．（5分）给出下列命题： ①y=1是幂函数；

②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1个； ③

的解集为[2，+∞）；

④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件； ⑤数列{an}的前n项和为Sn，且其中真命题的序号是 ． 11．（5分）矩阵的一种运算

第1页（共18页）

（a∈R），则{an}为等差或等比数列；

，该运算的几何意义为平面上的

点（x，y）在矩阵在矩阵

的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），若曲线x2+4xy+2y2=1

的作用下变换成曲线x2﹣2y2=1，则ab= ．

12．（5分）已知函数y=x2+（a+1）2+|x+a﹣1|的最小值大于5，则a的取值范围是 ． 二.选择题

13．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ） A．ac＜bc B．abc＜bac C．alogbc＜blogac

D．logac＜logbc

14．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）

A．﹣ B．﹣ C．

D．2

15．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题错误的是（ ） A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n C．α∥β，m?α，那么m∥β

D．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等 16．（5分）在△ABC中，若AB=A．1

B．2

C．3

D．4

，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）

17．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ） A．

B． C．

D．1

18．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧

的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）

的图象大致是（ ）

第2页（共18页）

A． B． C．

D．

三.解答

19．（12分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且（1）求证：平面ACD⊥平面ADE

（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A﹣CBE的体积，求V（x）的表达式及最大值．

；

20．（12分）某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年初，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为an元； （1）求{an}的通项公式；

第3页（共18页）

（2）当的年收入？

时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前

21．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2

（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且

，求直线l的方程．

22．（12分）已知函数f（x）=10

sincos+10cos2．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单

位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2． （i）求函数g（x）的解析式；

（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．

23．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）． （Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）定义在[p，q]上的函数φ（x），设p=x0＜x1＜…＜xi﹣1＜xi＜…＜xn﹣1=q，x1，x2，…，xn﹣1将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式

恒成立，则称函数φ（x）为在[p，q]上的有

界变差函数．试判断函数在[0，4]上f（x）是否为有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． （

表示f（x1）+f（x2）+…+f（xn））

第4页（共18页）