聚焦高考数学中的高观点题
江苏省姜堰中学 张圣官（225500）
所谓高观点题，是指与高等数学相联系的数学问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。由于高考的选择功能，这类题往往倍受命题者青睐。近年来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高观点题，成为高考题中一道亮丽的风景。下面就以近几年来年全国各地高考题为例，说明高观点题的几个主要特征。
1．语言叙述高观点
数学语言是自然语言、符号语言、图象语言等的有机结合。有些高考试题中的语言叙述有浓烈的高等数学色彩。
例1．（2003年北京高考第10题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班K名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，??，K。规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”。令aij= 0，第i号同学不同意第j号同学当选，其中i=1，2，??，K且j=1，2，??，K，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
A．a11+a12+??+a1K+a21+a22+??+a2K B．a11+a21+??+aK1+a12+a22+??+aK2 C．a11a12+ a21a22+??+aK1 aK2 D．a11a21+ a12a22+??+a1K a2K
解析：同意第1号同学当选有如下同学：a11，a21，a31，??，aK1，同意第2号同学当选有如下同学：a12，a22，a32，??，aK2，因而同时同意1，2号同学当选应为a11a12，a21a22，??，aK1 aK2，其余值均为0，故选（C）。
点评：本题的叙述方式采用了符号语言，既有逻辑语言的特点，又有矩阵语言的特征。 例2．（1998年全国高考第10题）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是
解析：思路一，观察注水过程中随着水深h的增加注水量V的增加的趋势，发现其加速度逐渐趋小但为正，因而（B）符合；思路二，取h=一些，通过分析，只有（B）符合。
点评：本题中对图象语言的翻译，以及其叙述方式都具有高等数学的特征。 2．知识背景高观点
有一些高考试题以中学数学知识为载体，而设计直接来源于高等数学，有高等数学的背景。
例3．（2003年全国高考理科第15题）如图，一个地区 分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同
- 1 -
H21，第i号同学同意第j号同学当选，
，发现注水量V比满瓶的一半要大
一颜色。现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答） 解析：先排1区，有4种方法，再排2区有3种方法。如果3、5两区同色，则4区有2种方法，否则4区只剩一种方法。另外，3、5两区本身还有2种选择，故共有4·3（2+1）·2=72种。
点评：本题与2003年新课程卷理科15题一样，都有图论中“四色定理”的影子。当然仅仅用加法原理和乘法原理等中学知识就可解决了。 例4．（2003年北京高考第18题）如图，椭圆的长轴A1A2 与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）， （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （Ⅱ）直线y=K1x交椭圆于两点C（x1，y1）、D（x2，y2） （y2＞0）；直线y=K2x交椭圆于两点G（x3，y3）、H（x4，y4） （y4＞0），求证：
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q，求证：|OP|=|OQ|。（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
K1x1x2K2x3x4； ?x1?x2x3?x4x2(y?r)22222?1 解析：（Ⅰ）椭圆方程为2?，焦点F（）、F（，?a?b,ra?b,r）122aba2?b2离心率e=。
a （Ⅱ）将y=K1x代入椭圆方程，得（b2+a2K12）x2－2K1a2rx+（a2r2－a2b2）=0 ∴x1+x2=
2K1a2rb?aK1222，x1x2=
a2r2?a2b2b2?a2K12K1x1x2r2?b2，∴ ① ?x1?x22rK2x3x4r2?b2同理，将y=K2x代入椭圆方程，计算得 ② ?x3?x42r由①、②得，
K1x1x2K2x3x4 ?x1?x2x3?x4（Ⅲ）设P（p，0），Q（q，0），
由C、P、H共线，得
x1?pK1x1(K?K2)x1x4，∴p=1 ③ ?x4?pK2x4K1x1?K2x4(K1?K2)x2x3 ④
K1x2?K2x3由D、Q、G共线，同理可得q=
- 2 -
将
x2x3K1x1x2K2x3x4x1x4变形得，? ??x1?x2x3?x4K1x2?K2x3K1x1?K2x4(K1?K2)x2x3(K1?K2)x1x4， ∴|p|=|q|，即|OP|=|OQ| ?K1x2?K2x3K1x1?K2x4即?点评：本题的背景毫无疑问是“蝴蝶定理”的推广形式。“蝴蝶定理”的内容是：过圆
O的弦AB的中点M作二弦CD、EF，设ED和CF分别交AB于P、Q，则MP=MQ，因其图酷似蝴蝶而得名。该结论可推广到有心二次曲线或“筝形”中，本题是其在椭圆中的应用。
3．推理方式高观点
3.1 加强了合情推理的考查
合情推理主要有毛估、类比、归纳等。高考中独具匠心地设置了一些问题考查学生的合情推理能力。
例5．（2003年全国高考新课程卷文科第15题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2= BC2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”。
点评：这是由低维（平面）到高维（空间）的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），象直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。需要指出的是，勾股定理的证明过程也可进行类比。如在Rt△ABC中，过A作AH⊥BC于H，则由AB2=BH·BC，AC2=CH·BC相加即得AB2＋AC2=BC2；在三侧面两两垂直的三棱锥A—BCD中，过A作AH⊥平面BCD于H，类似地由S△ABC2=S△HBC·S△BCD，S△ACD2=S△HCD·S△BCD，S△ADB2=S△HDB·S△BCD相加即得S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。
例6．（2003年上海高考第19题）已知数列｛an｝（n为正整数）是首项为a1，公比为
020123q的等比数列。（1）求和：a1c2（2）由（1）?a2c12?a3c2，a1c3?a2c3?a3c3?a4c3；
的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。
0222
解析：（1）a1c2?a2c12?a3c2=a1－2a1q＋a1q=a1(1－q)；
0123 a1c3= a1－3a1q＋3a1q2－a1q3=a1(1－q)3。 ?a2c3?a3c3?a4c3 （2）归纳概括的结论为：若数列｛an｝是首项为a1，公比为q的等比数列，则
023na1cn?a2c1)nan?1cn?a1(1?q)n，n为正整n?a3cn?a4cn????(?1数。证明如下：
a1cn?a2cn?a3cn?a4cn????(?1)an?1cn
- 3 -
0123nn02233n ?a1cn ?a1qc1)na1qncnn?a1qcn?a1qcn????(?102233n ?a1[cn?qc1)nqncn]?a1(1?q)n。 n?qcn?qcn????(?1点评：所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段。
3.2 代数推理与高等数学接轨
代数推理题在高考中历来倍受重视。近年来更是出现了不少观点高、设问新颖的代数推理题。
例7．（2003年江苏高考第21题）已知a＞0，n为正整数， （Ⅰ）设y=（x－a）n，证明y ’=n（x－a）n；
（Ⅱ）设fn(x)=xn－(x?a)n，对任意n≥a，证明f ’n+1 (n+1)＞（n+1）f ’n（n）。 解析：（Ⅰ）因为（x－a）= 所以y ’=
n
K?0?CnKn(?a)n?KxK
n?K?KCK?1n
－
nKn(?a)xK?1K?1n?KK?1??nCnx?n(x?a)n?1。 ?1(?a)K?1－
n （Ⅱ）对fn(x)=x－(x?a)n求导：f ’n(x)=nxn1－n(x?a)n?1
∴f ’n(n)=n[nn1－（n－a）n1]
－
当x≥a＞0时f ’n(x)＞0，∴当x≥a时，fn(x)=xn－(x?a)是增函数， 因此，当n≥a时，（n+1）n－（n+1－a）n＞nn－（n－a）n，
∴f ’n+1(n+1)=（n+1）[（n+1）n－（n+1－a）n]＞（n+1）[nn－（n－a）n] ＞（n+1）[nn－n（n－a）n1]= （n+1）f ’n(n)，从而命题成立。
－
n点评：本题考查的内容并没有超出中学教材的范畴，然而其形式到方法都已在更高层次上考查学生的逻辑思维能力，是命题者运用高等数学中的代数推理方法，居高临下而设计的。 在对待高观点题时要注意以下两个方面：一是高观点题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，而不是将高等数学引入高考；二是高观点题有利于区分考生能力，在今后高考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新时期的高考要求。
- 4 -