(课标通用)2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数2.2函数的单调性与最值学案理 下载本文

内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 §2.2 函数的单调性与最值

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1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.

考点1 函数单调性的判断(证明)

单调函数的定义

增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的定义 任意两个自变量的值x1,x2 当x1f(x2) 上升的 下降的

(1)[教材习题改编]函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) 1

A.k>

21

C.k>-

2

1B.k<

21

D.k<-

2

- 1 -

答案:D

(2)[教材习题改编]当k<0时,函数f(x)=kx+m在R上是________函数.(填“增”或“减”)

答案:减

解析:当k<0时,函数f(x)=kx+m在R上是减函数.

单调性易错点:单调性是区间内的性质.

函数f(x)=x-1在定义域内________单调性.(填“有”或“没有”) 答案:没有

解析:虽然函数在区间(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,但不能说函数在定义域内为单调函数,函数的单调区间是函数定义域的子集,定义域不一定是函数的单调区间.

2

[典题1] (1)[2017·浙江金华模拟]若函数f(x)=-x+2ax与g(x)=(a+1)[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )

A.(-1,0) C.(0,1) [答案] D

[解析] f(x)=-x+2ax的对称轴为x=a,要使f(x)在[1,2]上为减函数,必须有a≤1,又g(x)=(a+1)

1-x2

2

1-x在区间

B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

在[1,2]上是减函数,所以a+1>1,即a>0,故0

(2)[2017·广东佛山联考]试讨论函数f(x)=[解] 解法一(定义法): 设-1

axx-1

(a≠0)在(-1,1)上的单调性.

?x-1+1?=a?1+1?,

????x-1??x-1?

?

1?f(x1)-f(x2)=a?1+?-a?1+?

?x1-1??x2-1?

?

1?ax2-x1x1-x2-

由于-1<x1<x2<1,

所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

- 2 -

函数f(x)在(-1,1)上单调递减;

当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

f′(x)=

axx-

x-

2

axx-

x-

2

2

ax--axa=-2

x-x-

.

当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. [点石成金] 判断函数单调性的方法

(1)定义法:取值,作差,变形,定号,下结论.

(2)利用复合函数关系:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称“同增异减”.

(3)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.

考点2 求函数的单调区间

单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是________或________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,________叫做函数y=f(x)的单调区间.

答案:增函数 减函数 区间D

(1)[教材习题改编]函数f(x)=22

答案:-,-

73

(2)[教材习题改编]f(x)=x-2x,x∈[-2,4]的单调递增区间为________,f(x)max=________.

2

2

在[-6,-2]上的最大值和最小值分别是________. x-1

- 3 -

答案:[1,4] 8

1.常见函数的单调性:一次函数、二次函数、反比例函数.

12

函数f(x)=-x+2x的单调递增区间是________;函数y=的单调递减区间是

x_____________________________________.

答案:(-∞,1] (-∞,0),(0,+∞) 解析:根据二次函数、反比例函数的单调性可得. 2.复合函数的单调性:同增异减.

12

函数f(x)=log(x-1)的单调递增区间是________.

2答案:(-∞,-1)

解析:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间,即(-∞,-1).

[典题2] (1)[2017·河北衡水月考]函数f(x)=log1 (x-x-2)的单调递增区间为

2( )

1??A.?-∞,? 2??

C.(-∞,-1) [答案] C

[解析] 由x-x-2>0得x<-1或x>2,又u=x-x-2在(-∞,-1)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,y=log1 u为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),故选

2C.

(2)求函数y=-x+2|x|+1的单调区间.

?-x+2x+1,x≥0,?

[解] 由于y=?2

??-x-2x+1,x<0,?-?

即y=?

??-

22

2

2

2

?1?B.?,+∞?

?2?

D.(2,+∞)

x-x+

2

+2,x≥0,+2,x<0.

2

画出函数图象如图所示.

- 4 -