内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 §2.2 函数的单调性与最值
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1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.
考点1 函数单调性的判断(证明)
单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的定义 任意两个自变量的值x1，x2 当x1
(1)[教材习题改编]函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) 1
A．k>
21
C．k>－
2
1B．k<
21
D．k<－
2
- 1 -
答案：D
(2)[教材习题改编]当k<0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是________函数．(填“增”或“减”)
答案：减
解析：当k＜0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是减函数．
单调性易错点：单调性是区间内的性质．
函数f(x)＝x－1在定义域内________单调性．(填“有”或“没有”) 答案：没有
解析：虽然函数在区间(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，但不能说函数在定义域内为单调函数，函数的单调区间是函数定义域的子集，定义域不一定是函数的单调区间．
2
[典题1] (1)[2017·浙江金华模拟]若函数f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝(a＋1)[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0) C．(0,1) [答案] D
[解析] f(x)＝－x＋2ax的对称轴为x＝a，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须有a≤1，又g(x)＝(a＋1)
1－x2
2
1－x在区间
B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
在[1,2]上是减函数，所以a＋1>1，即a>0，故0 (2)[2017·广东佛山联考]试讨论函数f(x)＝[解] 解法一(定义法)： 设－1 axx－1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性． ?x－1＋1?＝a?1＋1?， ????x－1??x－1? ? 1?f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋? ?x1－1??x2－1? ＝ ? 1?ax2－x1x1－x2－ ， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， - 2 - 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) f′(x)＝ ＝ axx－ x－ 2 － axx－ x－ 2 2 ax－－axa＝－2 x－x－ . 当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． [点石成金] 判断函数单调性的方法 (1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论． (2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． (3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 考点2 求函数的单调区间 单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间． 答案：增函数 减函数 区间D (1)[教材习题改编]函数f(x)＝22 答案：－，－ 73 (2)[教材习题改编]f(x)＝x－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间为________，f(x)max＝________. 2 2 在[－6，－2]上的最大值和最小值分别是________． x－1 - 3 - 答案：[1,4] 8 1.常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函数． 12 函数f(x)＝－x＋2x的单调递增区间是________；函数y＝的单调递减区间是 x_____________________________________． 答案：(－∞，1] (－∞，0)，(0，＋∞) 解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得． 2．复合函数的单调性：同增异减． 12 函数f(x)＝log(x－1)的单调递增区间是________． 2答案：(－∞，－1) 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即(－∞，－1)． [典题2] (1)[2017·河北衡水月考]函数f(x)＝log1 (x－x－2)的单调递增区间为 2( ) 1??A.?－∞，? 2?? C．(－∞，－1) [答案] C [解析] 由x－x－2>0得x<－1或x>2，又u＝x－x－2在(－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log1 u为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，故选 2C. (2)求函数y＝－x＋2|x|＋1的单调区间． ?－x＋2x＋1，x≥0，? [解] 由于y＝?2 ??－x－2x＋1，x<0，?－? 即y＝? ??－ 22 2 2 2 ?1?B．?，＋∞? ?2? D．(2，＋∞) x－x＋ 2 ＋2，x≥0，＋2，x<0. 2 画出函数图象如图所示． - 4 -