所以PK?1=

k?Cn?0knn2k?1(1?p)p2k?1?n

=

k?(Cn?0n2k?1n?1n?2n2k?1?n?2C2k?1?C2k?1)(1?p)p

=n?0k?C?Ck?1n2k?1(1?p)pn2k?1?n?2?Cn?1kkn?12k?1(1?p)pn2k?1?nn?2n2k?1?n??C2k?1(1?p)pn?2kk

n2k?1(1?p)pn2k?1?n=n?0?2?Cn?0n?12k?1(1?p)n?1p2k?nn?2n?22k?1?n??C2(1?p)pk?1n?0

=n?0?Cn2k?1(1?p)np2k?1?n(p2?2(1?p)p?(1?p2))

kkk?1k?1k?1k?C2?C2pk?1(1?p)pk?1(1?p)=n?0 =

?Ck?1n2k?1kkk(1?p)np2k?1?n?C2k?1(1?p)p(p?(1?p))

kKkPK?C2k?1(1?p)p(2p?1)

因此，当p≥14证明：

1 2时，{pk}递增，当P≥

1时，{pk}递减。 2用数学归纳法证明f2n?1(x)?0有唯一解x2n?1且严格单调递增，f2n(x)?0无实数解，显然n=1时，

x2此时f1(x)?1?x有唯一解x1??1，且严格单调递增，而f2(x)?1?x?无实数解，现在假设

2f2n?1(x)?0有唯一解x2n?1且严格单调递增，f2n(x)?0无实数解，于是注意到f2?n?1(x)?f2n(x),f2n?1时，对任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0,于是

x2kx2kf2n?1(x)??(?(x?2k?1)，所以f2n?1(?2n?1)?0,

(2k?1)!k?0(2k)!n又因为f2n?1(0)?1?0,所以由f2n?1(x)严格递增知f2n?1(x)?0有唯一根0?x2n?1??2n?1， 对于f2n?2(x)有f2n?2?f2?n?2(x)?f2n?1(x)，所以（—∞，x2n?1）上，递减，在（x2n?1，+∞）上，递增，所以

5

2n?22n?2x2x2n?1n?1minf2n?2(x)?f2n?2(x2n?1)???0, x?R(2n?2)!(2n?2)!因此，f2n?2(x)?0无实数解

综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时fn(x)?0无解，当ｎ为奇数fn(x)?0有唯一解xn。 再证x2n?1?x2n?1，事实上，由

f2n?1(x)的严格单调性，只需验证f2n?1(x2n?1)?0，注意到

f2n?1(x)－

f2n?1(x)x2nx2n?1?＝，由上述归纳法证明过程中，x2n?1??2n?1，所以 (2n)!(2n?1)!2n2n?12nx2x2x2n?1n?1n?1???(x2n?1?2n?1)?0， ff2n?1(x2n?1)??(2n)!(2n?1)!(2n?1)!因此x2n?1?x2n?1，综上所述，原命题得证。

215假设比赛了K场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以Cn=2k，也就是说4k=n(n-1)，

那么得到n=4l或者4l+1,期中l?N，下边证明，对于任意的n=4l，或者4l+1,其中l?N,都可以构造出满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于L使用数学归纳法：

（1）当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.

121212（2）设当L=M时结论成立，则L=M+1时，设4M+5选手为A,B,C,D,EF1,F1,F2,F2?,F2m,F2m，

由归纳假设，可以安排E,

F11,F12,F21,F22,?,F21m,F22m之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作

为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下A,B,C,D，E,相互的比赛和A,B,C,D与间的比赛，A,B,C，D与

122F11,F12,?,F21m,F22m之

F11,F12,?,F21m,F22m112之间的比赛安排如下：

21AFL与BFL,AFL与BFL,CFL与DFL,CFL与DFL,满足要求。 最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的4M+5位选手之间的的比赛了。 由数学归纳法得证，N=4L时，对L使用数学归纳法，可以类似方法证明（略）。 综上所述，N的所有可能取值是N=4L或4L+1，其中L?N.

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